2023年北京市中考數學一模分類彙編——代數綜合題
方程存在整數根問題
1．（順義）已知關於x的方程．
（1）若方程有兩個不相等的實數根，求k的取值範圍；
（2）當方程有兩個相等的實數根時，求關於y的方程的整數根（為正整數）．
2．（昌平）已知關於x的方程（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2=0．
（1）討論此方程根的情況；
（2）若方程有兩個整數根，求正整數k的值；
（3）若拋物線y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2與x軸的兩個交點之間的距離為3，求k的值．
3．（懷柔）已知：關於的方程.
（1）a取何整數值時，關於的方程的根都是整數；
（2）若拋物線y=的對稱軸為x=－1，頂點為m，當k為何值時，一次函式的圖象必過點m.
圖象的平移、翻摺問題
4. （西城）已知關於x的一元二次方程的乙個實數根為 2．
(1) 用含p的代數式表示q；
(2) 求證：拋物線與x軸有兩個交點；
(3) 設拋物線的頂點為m，與 y軸的交點為e，拋物線頂點為n，與y軸的交點為f，若四邊形femn的面積等於2，求p的值．
5．（豐台）已知：關於x的一元二次方程：.
（1）求證：這個方程有兩個不相等的實數根；
（2）當拋物線與x軸的交點位於原點的兩側，且到原點的距離相等時，求此拋物線的解析式；
（3）將（2）中的拋物線在x軸下方的部分沿x軸翻摺，其餘部分保持能夠不變，得到圖形c1,將圖形c1向右平移乙個單位,得到圖形c2，當直線(b<0)與圖形c2恰有兩個公共點時，寫出b的取值範圍.
6.（門頭溝）已知：關於x的一元二次方程有兩個實數根. （1）求k的取值範圍；
（2）當k為負整數時，拋物線
與x軸的交點是整數點，求拋物線的解析式；
（3）若（2）中的拋物線與y軸交於點a，過a作x軸的平行線與拋物線交於點b，連線ob，將拋物線向上平移n個單位，使平移後得到的拋物線的頂點落在△oab的內部（不包括△oab的邊界），求n的取值範圍.
7.（東城）已知關於x的一元二次方程.
（1）求證：無論m取何實數時，原方程總有兩個實數根；
（2）若原方程的兩個實數根乙個大於2，另乙個小於7，求m的取值範圍；
（3）拋物線與x軸交於點a、b，與y軸交於點c，當m取（2）中符合題意的最小整數時，將此拋物線向上平移n個單位，使平移後得到的拋物線頂點落在△abc的內部（不包括△abc的邊界），求n的取值範圍（直接寫出答案即可）．
代數式變形與整體代入
8．（海淀）已知關於x的方程.
（1）求證: 不論m為任何實數, 此方程總有實數根；
（2）若拋物線與軸交於兩個不同的整數點，且為正整數，試確定此拋物線的解析式；
（3）若點p與q在（2）中拋物線上 (點p、q不重合), 且y1=y2, 求代數式的值.
函式圖象與三角形問題
9. （延慶）在平面直角座標系xoy中，二次函式y1=mx2-（2m+3）x+m+3與x軸交於點a、點b(點a在點b的左側)，與y軸交於點c（其中m>0）。
（1）求：點a、點b的座標（含m的式子表示）；
（2）若ob=4·ao，點d是線段oc（不與點o、點c重合）上一動點，**段od的右側作正方形odef,連線ce、be，設線段od=t，△ceb的面積為s，求s與t的函式關係式，並寫出自變數t的取值範圍；
10．（通州）已知二次函式
（1）求證：無論a為任何實數，二次函式的圖象與x軸總有兩個交點.
（2）當x≥2時，函式值隨的增大而減小，求的取值範圍.
（3）以二次函式圖象的頂點為乙個頂點作該二次函式圖象的內接正三角形（m，n兩點在二次函式的圖象上），請問：△的面積是與a無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由.
11.（平谷）二次函式與，這兩個二次函式圖象中的一條與x軸交於a、b兩個不同的點.
（1）試判斷哪個二次函式的圖象經過a、b兩點（寫出判斷過程）；
（2）若a點座標為（,0），求點b的座標；
（3）在（2）的條件下，設點c是拋物線上的一點，且△abc的面積為10，直接寫出點c的座標
方程、不等式與函式結合
12．（房山）已知：關於x的方程
⑴求證：方程總有實數根；
⑵若方程有一根大於5且小於7，求k的整數值；
⑶在⑵的條件下，對於一次函式和二次函式=，當時，有，求b的取值範圍．
13．（密雲）已知：、分別為關於的一元二次方程的兩個實數根．
（1）設、均為兩個不相等的非零整數根，求的整數值；
（2）利用圖象求關於的方程的解．
字母係數對代數式、方程、函式的影響
14．（大興）在平面直角座標系xoy中，o為座標原點，已知拋物線
（1）k取什麼值時，此拋物線與x軸有兩個交點？
（2）此拋物線與x軸交於a 兩點（點a在點b左側），且，求k的值.
15．（石景山）已知：關於的方程有兩個不相等的實數根．
（1）求的取值範圍；
（2）拋物線：與軸交於、兩點．若且直線:經過點,求拋物線的函式解析式；
（3）在（2）的條件下，直線:繞著點旋轉得到直線：，設直線與軸交於點，與拋物線交於點（不與點重合），當時，求的取值範圍．
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