初中數學公理和定理（北師版）
ⅰ:公理（不需證明）
1、兩直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那麼這兩條直線平行;
2、兩條平行線被第三條直線所截,同位角相等;
3、兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等;（sas）
4、角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等;（asa）
5、邊對應相等的兩個三角形全等;（sss）
6、等三角形的對應邊相等,對應角相等.
注：（1）公理作為證明其它定理的依據。（2）等式和不等式的有關性質也可視為公理。
ⅱ:以下對初中階段所學的公理、定理進行分類：
一、直線與角
1、兩點之間，線段最短。 2、經過兩點有一條直線，並且只有一條直線。
3、同角或等角的補角相等，同角或等角的餘角相等。 4、對頂角相等。
二、平行與垂直
5、經過直線外或直線上一點，有且只有一條直線與已知直線垂直。
6、連線直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。
7、經過已知直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行。
8、夾在兩平行線間的平行線段相等
9、平行線的性質：
（1）兩直線平行，同位角相等。 （2）兩直線平行，內錯角相等。
（3）兩直線平行，同旁內角互補。
10、平行線的判定：
（1）同位角相等，兩直線平行。 （2）內錯角相等，兩直線平行。
（3）同旁內角互補，兩直線平行。 （4）垂直於同一條直線的兩條的直線互相平行.
（5）如果兩條直線都和第三條直線平行，那麼這兩條直線也平行。
（6）利用三角形中位線定理。
三、角平分線、垂直平分線、圖形的變化（軸對稱、平稱、旋轉）
11、角平分線的性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
12、角平分線的判定：在乙個角的內部，到這個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.
13、線段垂直平分線的性質：線段的垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等.
14、線段垂直平分線的判定：到一條線段的兩個端點的距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上．
15、軸對稱的性質：
（1）如果圖形關於某一直線對稱，那麼鏈結對應點的線段被對稱軸垂直平分.
（2）對應線段相等、對應角相等。
16、平移：經過平移，圖形上的每個點都沿著相同方向移動了相同的距離，平移後，新圖形和原圖形的形狀和大小都沒有發現改變，即它們是全等圖形。即對應線段平行且相等，對應角相等，對應點所連的線段平行且相等。
17、旋轉對稱的性質：
(1)圖形中每一點都繞著旋轉中心旋轉了同樣大小的角度。(2)對應點到旋轉中心的距離相等。(3)對應線段相等、對應角相等。
18、中心對稱的性質：（1）具有旋轉對稱的所有性質：
（2）中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。
四、三角形
（一）一般性質
19、三角形內角和定理：三角形的內角和等於180°
20、推論（三角形外角的性質）：①三角形的乙個外角等於與它不相鄰的兩個內角的和；②三角形的乙個外角大於任何乙個與它不相鄰的內角；③三角形的外角和等於360°
21、三邊關係：（1）兩邊的和大於第三邊；（2）兩邊的差小於第三邊。
22、三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊，並且等於第三邊的一半．
23、三角形的三邊的垂直平分線交於一點（外心），這點到三個頂點的距離相等。
24、三角形的三條角平分線交於一點（內心），這點到三邊的距離（內切圓半徑）相等。
（二）特殊性質：
25、等腰三角形、等邊三角形的性質：
（1）等腰三角形的兩個底角相等．（簡寫成「等邊對等角」）
（2）「三線合一」定理：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合。
（3）等邊三角形的三個內角都相等，並且每乙個內角都等於60°．
26、等腰三角形、等邊三角形的判定：
（1）如果乙個三角形有兩個角相等，那麼這兩個角所對的邊也相等．（「等角對等邊」）
（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形。
（3）有乙個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。
27、直角三角形的性質：
（1）直角三角形的兩個銳角互餘；
（2）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方；
（3）直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半.
（4）在直角三角形中，如果乙個銳角等於30°，那麼它所對的直角邊等於斜邊的一半.
28、直角三角形的判定：
（1）勾股定理逆定理：如果乙個三角形的一條邊的平方等於另外兩條邊的平方和，那麼這個三角形是直角三角形.
（2）三角形一邊的中線等於這邊的一半，這個三角形是直角三角形。
五、四邊形
29、多邊形中的有關公理、定理：
（1）四邊形的內角和為360°
（2）多邊形的內角和定理：n邊形的內角和等於（n－2）×180°.
（3）多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和都為360°.
30、平行四邊形的性質：
（1）平行四邊形的對邊平行且相等；（含定義）
（2）平行四邊形的對角相等；
（3）平行四邊形的對角線互相平分.
（4）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。
31、平行四邊形的判定:
（1）兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；（定義）
（2）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；
（3）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
（4）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
（5）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
32、矩形的性質：（1）具有平行四邊形的所有性質；
（2）矩形的四個角都是直角；（3）矩形的對角線相等且互相平分.
33、矩形的判定：
（1）有乙個角是直角的平行四邊形是矩形。（定義）
（2）有三個角是直角的四邊形是矩形.
（3）對角線相等的平行四邊形是矩形。
34、菱形的性質：（1）具有平行四邊形的所有性質；
（2）菱形的四條邊都相等；
（3）菱形的對角線互相垂直平分，並且每一條對角線平分一組對角.
35、菱形的判定：
（1）四條邊相等的四邊形是菱形.
（2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（定義）
（3）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。
☆菱形的面積等於其對角線乘積的一半。即s=（a×b）÷2
36、正方形的性質：（1）具有矩形、菱形的所有性質
（2）正方形的四個角都是直角；四條邊都相等；
（3）正方形的兩條對角線相等，且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角.
37、正方形的判定：（證明既是矩形又是菱形）
（1）有乙個角是直角的菱形是正方形；⑵對角線相等的菱形是正方形
（2）有一組鄰邊相等的矩形是正方形.⑷對角線互相垂直的矩形是正方形
38、等腰梯形的性質：
（1）等腰梯形的同一條底邊上的兩個內角相等；
（2）等腰梯形的兩條對角線相等.
*梯形的中位線平行於梯形的兩底邊，並且等於兩底和的一半.(課本沒有)
39、等腰梯形的判定：同一條底邊上的兩個內角相等的梯形是等腰梯形；
☆兩條對角線相等的梯形是等腰梯形。
六、全等與相似：
40、全等三角形（多邊形）的性質：全等三角形（多邊形）的對應邊相等、對應角相等.
41、全等三角形的判定：
（1）公理：有兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（sas）。
（2）公理：有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（asa）。
（3）推論：有兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（aas）。
（4）公理：有三邊對應相等的兩個三角形全等（sss）。
（5）斜邊、直角邊公理：有斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等(hl)。
42、比例的性質：
（1）基本性質：如果a:b=c:d，那麼ad=bc； 如果ad=bc，那麼a:b=c:d。
（2）合比性質：如果，那麼。
（3）等比性質：如果，(b+d+…+n≠0)，那麼。
43、相似三角形的性質：
（1）定理：相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比都等於相似比。
（2）定理：相似三角形對應邊長、對應線段、周長的比等於相似比，面積的比等於相似比的平方。
44、相似三角形的判定：
（1）判定定理1：兩角對應相等，兩三角形相似。
（2）判定定理2：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似。
（3）判定定理3：三邊對應成比例，兩三角形相似。
☆直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似
45、相似多邊形的判定：對應邊成比例且對應角相等.
46、圖形的放大與縮小：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等於位似比。
七、圓47、定義：圓是到定點的距離等於定長的所有的點組成的圖形。
48、點與圓的位置關係：
①點在圓內d＜r； ②點在圓上d=r； ③點在圓外d＞r。
49、圓的性質：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線。
50、垂徑定理：垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對的兩條弧。
51、推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的兩條弧。
注：垂徑定理及推論：如果一條直線具有過圓心、垂直弦、平分弦、平分弦所對的劣弧（優弧）中的兩個性質就具有其餘性質。如：
①弦的垂直平分線經過圓心，並且平分弦所對的兩條弧。
②平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，並且平分弦所對的另一條弧。
52、圓的性質：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。
53、圓心角、弧、弦關係定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，（所對的弦的弦心距相等）。
54、推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦（或兩弦的弦心距）中有一組量相等那麼它們所對應的其餘各組量都相等。
55、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半。
56、推論1：同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等；
☆相等的圓周角所對的弧也相等。
57、推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑。
58、確定圓的條件：不在同一直線上的三點確定乙個圓。
59、直線與圓的位置關係：①直線l和⊙o相交d＜r ②直線l和⊙o相切d=r ③直線l和⊙o相離d＞r。
60、切線的性質定理：圓的切線垂直於經過切點的半徑.。
61、切線的判定定理：經過半徑的外端，並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
62、圓與圓的位置關係：①兩圓外離d＞r+r；②兩圓外切d=r+r；③兩圓相交r-r＜d＜r+r(r＞r)；④兩圓內切d=r-r(r＞r)；⑤兩圓內含d＜r-r(r＞r)。
北師大版初中數學定理知識點彙總
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初中幾何定理大全 北師大版
1 過兩點有且只有一條直線 2 兩點之間線段最短 3 同角或等角的補角相等 4 同角或等角的餘角相等 5 過一點有且只有一條直線和已知直線垂直 6 直線外一點與直線上各點連線的所有線段中，垂線段最短 7 平行公理經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行 8 如果兩條直線都和第三條直線平行，這兩...