知識點一中點
一、與中點有關的概念
三角形中線的定義：三角形頂點和對邊中點的連線
三角形中線的相關定理： 直角三角形斜邊的中線等於斜邊的一半
等腰三角形底邊的中線三線合一(底邊的中線、頂角的角平分線、底邊的高重合)
三角形中位線定義：鏈結三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線．
三角形中位線定理：三角形的中位線平行於第三邊並且等於它的一半．
中位線判定定理：經過三角形一邊中點且平行於另一邊的直線必平分第三邊．
直角三角形斜邊中線：直角三角形斜邊中線等於斜邊一半
斜邊中線判定：若三角性一邊上的中線等於該邊的一半，則這個三角形是直角三角形
二、與中點有關的輔助線
秘籍一：倍長中線
解讀：凡是出現中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的可以旋轉等長度的線段，從而達到將條件進行轉化的目的。
秘籍二：構造中位線
解讀：凡是出現中點，或多個中點，都可以考慮取另一邊中點，或延長三角形一邊，從而達到構造三角形中位線的目的。
秘籍三：構造三線合一
解讀：只要出現等腰三角形，或共頂點等線段，就需要考慮構造三線合一，從而找到突破口
其他位置的也要能看出
秘籍四：構造斜邊中線
解讀：只要出現直角三角形，或直角，則考慮連線斜邊中線段，第一可以出現三條等線段，第二可以出現兩個等腰三角形，從而轉化線段關係。
他位置的也要能看出
一、倍長中線類
考點說明：凡是出現中線或類似中線的線段，都可以考慮倍長中線，倍長中線的目的可以旋轉等長度的線段，從而達到將條件進行轉化的目的。
【例1】 已知：中，是中線．求證：．
【練1】在△中，，則邊上的中線的長的取值範圍是什麼？
【練2】如圖，中，，是中線．求證：．
【練3】如圖所示，在的邊上取兩點、，使，連線、，求證： ．
【例2】 如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點，延長交於，，求證：．
【練1】如圖，已知在中，是邊上的中線，是上一點，且，延長交於，求證：
【練2】如圖，在中，交於點，點是中點，交的延長線於點，交於點，若，求證：為的角平分線．
【練3】如圖所示，已知中，平分，、分別在、上．，．
求證：∥
【例3】 已知為的中線，，的平分線分別交於、交於．求證：．
【練1】在中，是斜邊的中點，、分別在邊、上，滿足．若，，則線段的長度為
【練2】在中，點為的中點，點、分別為、上的點，且．
（1）若，以線段、、為邊能否構成乙個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形或鈍角三角形？
（2）如果，求證．
【例4】 如圖所示，在中，，延長到，使，為的中點，連線、，求證．
【練1】已知中，，為的延長線，且，為的邊上的中線．
求證：【練2】如圖所示，，是的中點，，，求證．
【例5】 已知：三角形abc中，∠a＝90°，ab＝ac，d為bc的中點，
（1）如圖，e，f分別是ab，ac上的點，且be＝af，
求證：△def為等腰直角三角形．
（2）若e，f分別為ab，ca延長線上的點，仍有be＝af，其他條件不變，那麼，△def是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．
（09年大興二模）
【例6】 在△abc中，點p為bc的中點．
（1）如圖1，求證：ap＜（ab+ac）；
（2）延長ab到d，使得bd=ac，延長ac到e，使得ce=ab，鏈結de．
①如圖2，鏈結be，若∠bac=60°，請你**線段be與線段ap之間的數量關係．寫出你的結論，並加以證明；
②請在圖3中證明：bc≥de．
（10年西城二模）
圖1圖2圖3
【例7】
問題：如圖1，在菱形和菱形中，點在同一條直線上，是線段的中點，鏈結．若，**與的位置關係及的值．
小聰同學的思路是：延長交於點，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決．
請你參考小聰同學的思路，**並解決下列問題：
（1）寫出上面問題中線段與的位置關係及的值；
（2）將圖1中的菱形繞點順時針旋轉，使菱形的對角線恰好與菱形的邊在同一條直線上，原問題中的其他條件不變（如圖2）．你在（1）中得到的兩個結論是否發生變化？寫出你的猜想並加以證明．
（3）若圖1中，將菱形繞點順時針旋轉任意角度，原問題中的其他條件不變，請你直接寫出的值（用含的式子表示）．
（08年中考）
【例8】
在矩形abcd中, 點f在ad延長線上，且df= dc, m為ab邊上一點, n為md的中
點, 點e在直線cf上（點e、c不重合）.
（1）如圖1, 若ab=bc, 點m、a重合, e為cf的中點，試**bn與ne的位置關係
及的值, 並證明你的結論;
（2）如圖2，且若ab=bc, 點m、a不重合, bn=ne，你在（1）中得到的兩個結論是否
成立, 若成立,加以證明; 若不成立, 請說明理由;
（3）如圖3，若點m、a不重合，bn=ne，你在（1）中得到的結論兩個是否成立, 請[**:學科網]直接寫出你的結論.
（12年海淀二模）
圖1圖2圖3
5與中點有關的引輔助線方法
姓名時間 一 有中線時可倍長中線，構造全等三角形或平行四邊形 例1 已知 如圖，ad為中線，求證 類題1 已知 如圖，ad為的中線，ae ef.求證 bf ac.二 有以線段中點為端點的線段時，常加倍此線段，構造全等三角形或平行四邊形.例2 已知 如圖，在中，m為ab中點，p q分別在ac bc上，...
珍藏二全等三角形證明輔助線作法之倍長中線問題
夯實基礎 例 中，ad是的平分線，且bd cd，求證ab ac 方法1 作de ab於e，作df ac於f，證明二次全等 方法2 輔助線同上，利用面積 方法3 倍長中線ad 方法精講 常用輔助線新增方法 倍長中線 abc中方式1 延長ad到e，ad是bc邊中線使de ad 連線be 方式2 間接倍長...
全等三角形輔助線之中點三招妙用
全等三角形 令很多初學幾何的同學很頭痛 各大型考試必考內容 中考必考考點 幾何題中的分值大戶 考試重點，也是難點，拉開差距 例 如圖，已知 abc和 ade都是等腰直角三角形，點m為ec邊中點，求證 bmd為等腰直角三角形。全等三角形輔助線作法之中點的3招妙用 第一招 倍長中線法 例 如圖，已知ad...