高二數學（文科）綜合測試（一）
一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的
1．函式的定義域為
a． b． c． d．
2．已知複數（其中，是虛數單位），則的值為
abc．0d．2
3．如果函式的最小正週期為，則的值為
a．1b．2c．4d．8
4．在△中，，，，在上任取一點，使△為鈍角三角形的概率為
abcd．
5．如圖1是乙個空間幾何體的三檢視，則該幾何體的側面積為
a． b．
c．8d．12
6．在平面直角座標系中，若不等式組表示的
平面區域的面積為4，則實數的值為
a．1b．2c．3d．4
7．已知冪函式在區間上單調遞增，則實數的值為
a．3b．2c．2或3d．或
8．已知兩個非零向量與，定義，其中為與的夾角．若， ，則的值為
abcd．
9．已知函式，對於任意正數，是成立的
a．充分非必要條件b．必要非充分條件c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
10．已知圓：，點（）是圓內一點，過點的圓的最短弦所在的直線為，直線的方程為，那麼
a．，且與圓相離b．，且與圓相切
c．，且與圓相交d．，且與圓相離
二、填空題：本大題共5小題，考生作答4小題，每小題5分，滿分20分．
（一）必做題（11～13題）
11．若函式是偶函式，則實數的值為 ．
12．已知集合，，若，則實數的取值範圍為 ．
13．兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數學家曾經在沙灘上研究數學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數，按照點或小石子能排列的形狀對數進行分類，如圖2中的實心點個數1，5，12，22，…，被稱為五角形數，其中第1個五角形數記作，第2個五角形數記作，第3個五角形數記作，第4個五角形數記作，…，若按此規律繼續下去，則 ，若，則 ．
（二）選做題（14～15題，考生只能從中選做一題
14．（幾何證明選講選做題）如圖3，圓的半徑為，點是弦的中點，
，弦過點，且，則的長為 ．
15．（座標系與引數方程選做題）在平面直角座標系中，
已知直線與曲線的引數方程分別為：（為引數）和：（為引數），若與相交於、兩點，則 ．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
已知函式．
（1）求的值；（2）若，求的值．
17．（本小題滿分12分）
某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數學成績（滿分100分，成績均為不低於40分的整數）
分成六段：，，…，後得到如圖4的頻率分布直方圖．
（1）求圖中實數的值；
（2）若該校高一年級共有學生640人，試估計該校高一年級
期中考試數學成績不低於60分的人數；
（3）若從數學成績在與兩個分數段內的學
生中隨機選取兩名學生，求這兩名學生的數學成績之差
的絕對值不大於10的概率．
18．（本小題滿分14分）
如圖5所示，在三稜錐中，，平面平面，於點， ，，．
（1）求三稜錐的體積；
（2）證明△為直角三角形．
19．（本小題滿分14分）
已知等差數列的公差，它的前項和為，
若，且，，成等比數列．
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列的前項和為，求證：．
20．（本小題滿分14分）
已知函式．
（1）求函式的單調遞增區間；
（2）若對任意，函式在上都有三個零點，求實數的取值範圍．
21．（本小題滿分14分）
已知橢圓的左、右兩個頂點分別為、．曲線是以、兩點為頂點，離心率為的雙曲線．設點在第一象限且在曲線上，直線與橢圓相交於另一點．
（1）求曲線的方程；
（2）設點、的橫座標分別為、，證明：；
（3）設與（其中為座標原點）的面積分別為與，且，求的取值範圍．
高二數學（文科）綜合測試（一）試題參***
一、選擇題：本大題考查基本知識和基本運算．共10小題，每小題5分，滿分50分．
二、填空題：本大題考查基本知識和基本運算，體現選擇性．共5小題，每小題5分，滿分20分．其中14~15題是選做題，考生只能選做一題．第13題僅填對1個，則給3分．
11．0 12． 13．35，10 14． 15．
三、解答題：本大題共6小題，滿分80分．解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
16．（本小題滿分12分）
（1）解4分
（2）解法1：因為．…………7分
所以，即
因為由①、②解得．所以．……12分
解法2：因為．………7分
所以 ．……12分
17．（本小題滿分12分）
（1）解：由於圖中所有小矩形的面積之和等於1，
所以．解得．……………2分
（2）解：根據頻率分布直方圖，成績不低於60分的頻率為．…………3分
由於該校高一年級共有學生640人，利用樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級數學成績不低於60分的人數約為人5分
（3）解：成績在分數段內的人數為人，分別記為，．………6分
成績在分數段內的人數為人，分別記為，，，．……7分
若從數學成績在與兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，則所有的基本事件有共15種9分
如果兩名學生的數學成績都在分數段內或都在分數段內，那麼這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定不大於10.如果乙個成績在分數段內，另乙個成績在分數段內，那麼這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定大於10．
記「這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大於10」為事件，則事件包含的基本事件有：
，，，，，，共7種．…11分
所以所求概率為．………………12分
18．（本小題滿分14分）
（1）證明：因為平面平面，平面平面， 平面，，所以平面2分
記邊上的中點為，在△中，因為，
所以．因為，，
所以．…………………4分
所以△的面積…………5分
因為，所以三稜錐的體積．……………………7分
（2）證法1：因為，所以△為直角三角形．
因為，，
所以．………………9分
連線，在△中，
因為，，，
所以．…………10分
由（1）知平面，又平面，
所以．在△中，因為，，，
所以．……………………12分
在中，因為，，，
所以．所以為直角三角形．…………14分
證法2：連線，在△中，因為，，，
所以．…………8分
在△中，，，，
所以，所以．………………10分
由（1）知平面，因為平面，
所以． 因為，
所以平面12分
因為平面，所以．所以為直角三角形．…………14分
19．（本小題滿分14分）
（1）解：因為數列是等差數列，所以，．
依題意，有即……………3分
解得，．所以數列的通項公式為（）．………6分
（2）證明：由（1）可得．……………………7分
所以．………………8分
所以．因為，所以．…………………11分
因為，所以數列是遞增數列．………………12分
所以． 所以14分
20．（本小題滿分14分）
（1）解：因為，所以．…………1分
當時，，函式沒有單調遞增區間；……………………2分
當時，令，得．
故的單調遞增區間為；…………3分
當時，令，得．故的單調遞增區間為．………4分
綜上所述，當時，函式沒有單調遞增區間；
當時，函式的單調遞增區間為；
當時，函式的單調遞增區間為．……………5分
（2）解：，由（1）知，時，的單調遞增區間為，單調遞減區間為和．所以函式在處取得極小值，…………………7分
函式在處取得極大值8分
由於對任意，函式在上都有三個零點，
所以即…………………10分
高二數學周測
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高二 上 理科數學周測 三
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