學生科目：數學第階段第次課教師： 張勇
知識框架
（一）知識點歸納
1、全等形和全等三角形的概念、性質
能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形；能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形；兩個三角形重合時，互相重合的頂點叫做對應頂點，互相重合的邊叫做對應邊，互相重合的角叫做對應角。「全等」用符號「」來表示，讀作「全等於」。
注：記兩個全等三角形時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。
全等三角形的性質：全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相等。
2、全等變形
只改變圖形的位置，而不改變其形狀大小的圖形變換叫做全等變換。全等變換包括以下三種：
（1）平移變換： 把圖形沿某條直線平行移動；
（2）對稱變換：將圖形沿某直線翻摺；
（3）旋轉變換：將圖形繞某點旋轉一定的角度到另乙個位置。
2、兩個三角形全等的判定方法（一）
有三邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成「邊邊邊」或「sss」）
3、兩個三角形全等的判定方法（二）
由兩邊和它的夾角對應相等的兩個三角形全等。（可以簡寫成「邊角邊」或「sas」）
4、全等三角形的判定方法（三）
（1）有兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成「角邊角」或「asa」）
（2）有兩角和其中乙個角的對邊對應相等的兩個三角形全等（可以簡寫成「角角邊」或「aas」）
5、直角三角形全等的判定方法
斜邊和一條直角邊對應相等的兩個三角形全等。（可以簡寫成「斜邊、直角邊」或「hl」）
考點一全等三角形的性質應用及判定方法
一、典型例題一
例1、（1）如下圖，△abc≌△cda，找出對應邊和對應角.
（2）下圖中，點o左右兩邊對應的三角形都能夠重合，請找出全等的三角形.
分析：（1）由對應邊、對應角的概念，先找出對應頂點，再由對應頂點確定對應邊和對應角.
（2）用全等的概念，根據圖形能夠重合找出全等的三角形.
解：（1）∵△abc與△cda重合，互相重合的頂點是a和c，b和d，c和a；
∴對應頂點是a和c，b和d，c和a；
對應邊為ab和cd，ac和ca，bc和da；
對應角為∠cab和∠acd，∠abc和∠cda，∠acb和∠cad.
（2）△fao與△ebo；△dfo與△ceo，△dao與△cbo全等.
例2、如下圖，△abc≌△ade，且∠cad=10°，∠b=∠d=25°，∠eab=120°，試求∠dfb和∠dgb的度數.
分析：根據全等三角的對應角相等的性質，並結合三角形的內角和進行計算求解.
解：∵△abc≌△ade，
∴∠dae=∠bac
∴∠dae=∠bac=(∠eab－∠cad)= (120°－10°)=55°.
在△abf中，∠afb=180°－(∠fab＋∠b)= 180°－(55°＋10°＋25°)=90°
∴∠dfb=180°－∠afb=180°－90°=90°.
又∵∠dfg=180°－∠dfb=180°－90°=90°.
在rt△dfg中，∠dgb=90°－∠d=90°－25°=65°.
∴∠dfb和∠dgb的度數分別為90°和65°.
例3、如下圖，a、c、b、d在同一條直線上，ac=bd，am=cn,bm=dn，證明：△abm≌△cdn.
分析：要證△abm≌△cdn，可看這兩個三角形的三條邊是否相等，由題設am=cn，bm=dn，故只需判斷第三邊ab=cd即可，由於ac=bd，故可得ab=cd.
證明：∵ac=bd，
∴ac＋cb=cb＋bd即ab=cd
在△abm與△cdn中
所以△abm≌△cdn.
例4、如下圖，ac、bd相交於o，且ab=dc，ac=bd，則∠a=∠d，為什麼？
分析：要說明∠a=∠d，可說明它們所在的△abo和△dco全等，而只有ab=dc這一組對邊相等，不具備條件，難以確定它們是否全等.於是需轉換思維角度，由於∠a、∠d又在△abc和△dcb中，由題設易知這兩個三角形的三條對應邊相等，因此這兩個三角形全等，故不難推證∠a=∠d.
證明：在△abc和△dcb 中，
，∴△abc≌△dcb，
∴∠a=∠d.
例5、如下圖，△abc和△def是全等三角形，若ab=de，∠b=50°，∠c=70°，∠e =50°，求∠d的度數.
解：因為△abc≌△def，ab=de，所以∠c和∠f是對應角.
因為∠c=70°，所以∠f=70°.
因為∠f＋∠d＋∠e=180°（三角形內角和定理），
又因為∠e=50°，所以∠d=60°.
例6、如下圖，a**段de上，△aec≌△bda.
（1）若∠aec=90°，則∠bac也等於90°嗎？為什麼？
（2）若ec=1，ea∶ad=3∶1，求ed的長度.
解：（1）∠bac=90°.理由如下：
∵△aec≌△bda，
∴∠1=∠3.
又∵∠cad=∠2＋∠3=∠1＋∠e，
∴∠2=∠e.
又∵∠e=90°，∴∠2=90°，
∴ac⊥ab.
（2）∵aec≌△bda，
∴ec=ad.
又∵ec=1，∴ad=1.
又∵ea∶ad=3∶1，
∴ed=4ad=4.
典型例題二
例1. 如圖點e、f在bc上，ab＝dc，af＝de，be＝cf。求證：
證明：例2. 如圖ac和bd相交於點o，oa＝oc，ob＝od。試說明：dc//ab。
證明：例3. ab＝ac，
證明：，即
在和中例4. 如圖ad為的中線，且。
。 證明：
例5. 如圖，是等腰三角形，ab＝ac，ad是高，則有bd＝cd，∠cad＝∠bad，為什麼？
證明：例6. 如圖，在和中，∠acb＝∠dbc＝，e是bc的中點，ef⊥ab於f，且ab＝de。求證：（1）bcd是等腰直角三角形；（2）若bd＝8cm，求ac的長。
證明：例7. 如圖已知ab＝ac，ad＝ae，∠bac＝∠dae。求證：
證明：例8. 已知如圖，ae＝cf，ad＝cb，ad//bc。求證：
證明：課後練習
1、兩個三角形有兩邊和一角對應相等，則兩個三角形（ ）
a. 一定全等 b. 一定不全等 c.可能全等，可能不全等 d.以上都不是
2、如果三角形的乙個角等於其他兩個角的差，則這個三角形一定是（ ）
a. 等腰三角形 b.銳角三角形 c.直角三角形 d.鈍角三角形
3、在（ ）
a. b. c. d. 以上結果都不對
4、如圖，已知ce、cb分別是abc、adc的中線，且ab＝ac。求證：cd＝2ce。
5、已知如圖a、e、f、d在同一直線上，ae＝df，ab//cd，且ab＝dc。求證：bf//ce。
6、已知：如圖ad＝bc，fd＝eb，ab＝cd。求證：∠e＝∠f。
7、如圖ab＝ac，db＝dc，點f在ad的延長線上，求證：bf＝cf。
8、如圖ab＝cd，ae＝cf，bf＝de。求證：af＝ce。考點二
全等三角形講義
考點鏈結 1 全等三角形的三角形叫全等三角形.2.三角形全等的判定方法有直角三角形全等的判定除以上的方法還有 3.全等三角形的性質 全等三角形 4.全等三角形的面積 周長 對應高相等.5 角平分線定義 6 角平分線的性質 典例精析 一 邊邊邊 例1 已知 如圖2 2，ab de，ac df，be c...
全等三角形講義
11.1全等三角形 1 知道什麼是全等形 全等三角形及全等三角形的對應元素 2 知道全等三角形的性質，能用符號正確地表示兩個三角形全等 3 能熟練找出兩個全等三角形的對應角 對應邊 1.什麼樣的兩個三角形全等？2.全等三角形有什麼性質？1.問題導學 觀察下列圖案，指出這些圖案中中形狀與大小相同的圖形...
三角形全等的條件
9.如圖7,已知ab cf,e為df的中點,若ab 9cm,cf 5cm,則bd等於 a.2cm b.3cm c.4cm d.5cm 789 10.如圖8,abc是等邊三角形,若在它邊上的一點與這邊所對的角的頂點的連線恰好將 abc分成兩個全等三角形,則這樣的點共有 a.1個 b.3個 c.4個 d...