武漢科技大學
2010-2011-1線性代數期末試卷(本科a)
解答與參考評分標準
一、單項選擇題（每小題3分，共15分）
1．滿足下列條件的行列式不一定為零的是（ a ）。
(a）行列式的某行（列）可以寫成兩項和的形式;（b）行列式中有兩行（列）元素完全相同; （c）行列式中有兩行（列）元素成比例d）行列式中等於零的個數大於個.
2．下列矩陣中（ c ）不滿足。
(a）; （b）; （cd）.
3. 設為同階可逆方陣,則( d )。
(ab) 存在可逆矩陣；
(c) 存在可逆矩陣； (d) 存在可逆矩陣.
4．向量組線性無關的充分必要條件是（ d ）
（a）均不為零向量； （b）中有一部分向量組線性無關；
（c）中任意兩個向量的分量不對應成比例；
（d）中任意乙個向量都不能由其餘個向量線性表示。
5．零為方陣a的特徵值是a不可逆的（ b ）。
（a）充分條件； （b）充要條件; （c）必要條件; （d）無關條件.
二、填空題（每小題3分，共15分）
6．設，則= 0 。
7．已知設則；
8．設是三階方陣，且，則 27 ；
9．已知向量組則該向量組的秩為 2 ;
10. 已知，，且於相似，則 6 。
三、計算題（每小題10分，共50分）
11．解5分8分
10分12．已知3階非零矩陣的每一列都是方程組的解.
①求的值；②證明.
解：①因為非零矩陣的每一列都是齊次方程組的解，所以齊次線性方程組有非零解，即5分
②由題意可得8分
因為，所以，即不可逆，所以10分
注：第二問也可以用反證法，方法對即可。
13．設3階矩陣滿足等式,其中
求矩陣。
解3分8分
所以10分
14．求向量組的秩及最大無關組。
解： 6分
所以，任意兩個不成比例的向量組均是的乙個極大無關組10分
15. 設
1.求二次型所對應的矩陣； 2. 求的特徵值和對應的特徵向量。
解：1. 二次型所對應的矩陣3分
2．（二重） 6分
當時，，
所以為對應的特徵向量8分
當時，，
所以為對應的特徵向量10分
四、解答題（10分）
16． ， 已知向量
試討論為何值時
（1）不能用線性表示；（2）可由唯一地表示，並求出表示式；（3）可由表示，但表示式不惟一，並求出表示式.
解：問題轉化為方程組求解問題
增廣矩陣5分
（1）時,(若則,若則) 方程組無解，即不能用線性表示6分
（2）時，，方程組有唯一解，即可由唯一地表示，求表示式：
8分（3）時，，可由表示，但表示式不惟一，求表示式：
10分五、證明題（每小題5分，共10分）
17．設是一組維向量，證明它們線性無關的充分必要條件是：任一維向量都可由它們線性表示。
證明：充分性：是一組維向量，任一維向量都可由它們線性表示。因此有可由線性表示，因此有
線性無關3分
必要性： 線性無關，因此有線性相關，即
有惟一解，所以向量可由向量組線性表示，由的任意性可得任一維向量都可由線性表示5分
18．設為對稱矩陣，為反對稱矩陣，且可交換，可逆，證明：是正交矩陣。
證明：為對稱矩陣，為反對稱矩陣，
可交換2分
4分所以是正交矩陣5分
10 11 2線性代數1A卷
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