2023年江蘇各地數學二模難題彙編
[（14）2009南京二模] 20、（本題滿分16分）
已知定義在實數集r上的偶函式的最小值為3，且當≥0時，（a為常數）。
（1）求函式的解析式；
（2）求最大的整數m(m>1)，使得存在實數t，對任意的。
（方法三）由（1）知，f(x)＝3e|x|．
所以3e|x＋t|≤3ex對x∈[1，m]恆成立，即|x＋t|≤1＋lnx．
所以－1－lnx≤x＋t≤1＋lnx，－1－lnx－x≤t≤1＋lnx－x．
令g(x)＝－1－lnx－x，g(x)＝－－1＜0，g(x)max＝g(1)＝－2；
令h(x)＝1＋lnx－x，h(x)＝－1≤0，h(x)min＝h(m)＝1＋lnm－m．
要使t存在，只要－2≤1＋lnm－m，即lnm－m＋3≥0．
令k(m)＝lnm－m＋3，則k (m)＝－1≤0，
所以k(m)在（1，＋∞）上為單調減函式，
且k(3)＝ln3＞0，k(4)＝ln4－1＞0，k(5)＝ln5－2＜0．
所以滿足條件的最大整數m的值為4．
[（15）2009蘇錫常鎮二] 20、
答案：[（17）2009南通二調20]（本題滿分16分）
設是等差數列，其前n項的和為sn.
（1）求證：數列為等差數列；
（2）設各項為正數，a1=，a1≠a2，若存在互異正整數m，n，p滿足：①m+p=2n；
②. 求集合的元素個數；
（3）設bn= (a為常數，a>0，a≠1，a1≠a2)，數列前n項和為tn. 對於正整數c，
d，e，f，若c答案：
【證】（1）為等差數列，設其公差為，則
，於是（常數），
故數列是等差數列3分
【解】（2）因為為等差數列，所以是等差數列，
於是可設為常數)，從而.
因為m+p=2n，所以由兩邊平方得
，即，亦即4分
於是，兩邊平方並整理得，即
6分因為m≠p，所以，從而，而a1=，所以.
故7分所以
.因為15有4個正約數，所以數對（x，y）的個數為4個.
即集合中的元素個數為49分
（3）因為（常數），
所以數列是正項等比數列.
因為a1≠a2，所以等比數列的公比q≠110分
（解法一） ①
. ②
因為，所以要證②，只要證13分
而③. ④
④顯然成立，所以③成立，從而有.…………………16分
（解法二）注意到當n>m時12分
於是14分
而，故16分
（注：第（3）問只寫出正確結論的，給1分）
[（18）2009鹽城三調19](本小題滿分16分)
設函式.
（ⅰ）求證：當時，；
（ⅱ）存在，使得成立，求的取值範圍；
（ⅲ）若對恆成立，求的取值範圍．
解答：（ⅰ）解答：(ⅰ)因為當時，，
所以在上單調遞減3分
又，所以當時4分
(ⅱ) 因為，所以，
由(ⅰ)知，當時，，所以………………………6分
所以在上單調遞減，則當時8分
由題意知，在上有解，所以，從而………………………10分
（ⅲ）由得對恆成立，
①當時，不等式顯然成立11分
②當時，因為，所以取，則有，從而此時不等式不恆成立12分
③當時，由(ⅱ)可知在上單調遞減，而，
∴， ∴成立14分
④當時，當時，，則
，∴不成立，
綜上所述，當或時，有對恆成立。
16分[（18）2009鹽城三調23] (本小題滿分10分)
已知為等差數列，且，公差.
（ⅰ）試證：；；；
（ⅱ）根據（ⅰ）中的幾個等式，試歸納出更一般的結論，並用數學歸納法證明.
解答：（ⅰ）略3分
（ⅱ）結論5分
證：①當時，等式成立，
②假設當時，成立，
那麼當時，因為，所以
，所以，當時，結論也成立。
綜合①②知，對都成立…………10分
[（19）2009南師附中三模19] (本小題滿分16分)
已知數列的通項公式為(n*)．
(1) 若，，成等比數列，求的值；
(2) 是否存在(≥3且n)，使得，，成等差數列，若存在，求出常數
的值；若不存在，請說明理由；
(3) 求證：數列中的任意一項總可以表示成數列中的其他兩項之積．
解：(1)，，，
，，成等比數列，∴，∴或
∵n4分
(2) 假設存在這樣的，滿足條件，，，，
，，成等差數列，∴，化簡得
∵， n*，∴時，；或時8分
(3)即證存在， ，使得
即證：即證：
即證即證：
即證12分
令，則∴對任意，
即數列中的任意一項總可以表示成數列中的其他兩項之積．……………16分
[（19）2009南師附中三模20] (本小題滿分16分)
已知正方形的中心在原點，四個頂點都在曲線上．
(1) 若正方形的乙個頂點為，求、的值；
(2) 若，求證：是正方形唯一確定的充要條件．
解：(1) ∵乙個頂點為，∴必有另三個頂點，，，
將，代入，得，． ………………4分
(2) 設正方形在第一象限的頂點座標為，則必然有另乙個頂點…6分
充分性：
若， 則，則有，
即8分 令，則，代入①得
即化簡得， ……………10分
又有且僅有乙個正根，∴唯一確定，
即正方形唯一確定12分
必要性：
若唯一確定，則，即
即 ——②
令，則，代入①得
即化簡得，
即 ——③
又③有唯一解，∴，又16分
[（19）2009南師附中三模23] 函式的圖象為曲線，在上有一點的橫座標為，點的座標為，直線與曲線交於另一點.
(1) 試用表示點的橫座標；
(2) 求直線與曲線圍成的封閉圖形的面積的最小值.
(2)當時，最小值為10分
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