第二十七章二次函式
[本章知識要點]
1． 探索具體問題中的數量關係和變化規律．
2． 結合具體情境體會二次函式作為一種數學模型的意義，並了解二次函式的有關概念．
3． 會用描點法畫出二次函式的圖象，能通過圖象和關係式認識二次函式的性質．
4． 會運用配方法確定二次函式圖象的頂點、開口方向和對稱軸．
5． 會利用二次函式的圖象求一元二次方程（組）的近似解．
6． 會通過對現實情境的分析，確定二次函式的表示式，並能運用二次函式及其性質解決簡單的實際問題．
27.1 二次函式
[本課知識要點]
通過具體問題引入二次函式的概念，在解決問題的過程中體會二次函式的意義．
[mm及創新思維]
（1）正方形邊長為a（cm），它的面積s（cm2）是多少？
（2）矩形的長是4厘公尺，寬是3厘公尺，如果將其長與寬都增加x厘公尺，則面積增加y平方厘公尺，試寫出y與x的關係式．
請觀察上面列出的兩個式子，它們是不是函式？為什麼？如果是函式，請你結合學習一次函式概念的經驗，給它下個定義．
[實踐與探索]
例1． m取哪些值時，函式是以x為自變數的二次函式？
分析若函式是二次函式，須滿足的條件是：．
解若函式是二次函式，則
解得且．
因此，當，且時，函式是二次函式．
回顧與反思形如的函式只有在的條件下才是二次函式．
探索若函式是以x為自變數的一次函式，則m取哪些值？
例2．寫出下列各函式關係，並判斷它們是什麼型別的函式．
（1）寫出正方體的表面積s（cm2）與正方體稜長a（cm）之間的函式關係；
（2）寫出圓的面積y（cm2）與它的周長x（cm）之間的函式關係；
（3）某種儲蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不計利息，求本息和y（元）與所存年數x之間的函式關係；
（4）菱形的兩條對角線的和為26cm，求菱形的面積s（cm2）與一對角線長x（cm）之間的函式關係．
解 （1）由題意，得 ，其中s是a的二次函式；
（2）由題意，得 ，其中y是x的二次函式；
（3）由題意，得 （x≥0且是正整數），
其中y是x的一次函式；
（4）由題意，得 ，其中s是x的二次函式．
例3．正方形鐵片邊長為15cm，在四個角上各剪去乙個邊長為x（cm）的小正方形，用餘下的部分做成乙個無蓋的盒子．
(1)求盒子的表面積s（cm2）與小正方形邊長x（cm）之間的函式關係式；
(2)當小正方形邊長為3cm時，求盒子的表面積．
解 （1）；
（2）當x=3cm時，（cm2）．
[當堂課內練習]
1．下列函式中，哪些是二次函式？
（1） （2）
（34）
2．當k為何值時，函式為二次函式？
3．已知正方形的面積為，周長為x（cm）．
(1)請寫出y與x的函式關係式；
(2)判斷y是否為x的二次函式．
[本課課外作業]
a組1． 已知函式是二次函式，求m的值．
2． 已知二次函式，當x=3時，y= -5，當x= -5時，求y的值．
3． 已知乙個圓柱的高為27，底面半徑為x，求圓柱的體積y與x的函式關係式．若圓柱的底面半徑x為3，求此時的y．
4． 用一根長為40 cm的鐵絲圍成乙個半徑為r的扇形，求扇形的面積y與它的半徑x之間的函式關係式．這個函式是二次函式嗎？請寫出半徑r的取值範圍．
b組5．對於任意實數m，下列函式一定是二次函式的是
a． b． c． d．
6．下列函式關係中，可以看作二次函式（）模型的是 （ ）
a． 在一定的距離內汽車的行駛速度與行駛時間的關係
b． 我國人口年自然增長率為1%，這樣我國人口總數隨年份的變化關係
c． 豎直向上發射的訊號彈，從發射到落回地面，訊號彈的高度與時間的關係（不計空氣阻力）
d． 圓的周長與圓的半徑之間的關係
[本課學習體會]
27.2二次函式的圖象與性質（1）
[本課知識要點]
會用描點法畫出二次函式的圖象，概括出圖象的特點及函式的性質．
[mm及創新思維]
我們已經知道，一次函式，反比例函式的圖象分別是
那麼二次函式的圖象是什麼呢？
（1）描點法畫函式的圖象前，想一想，列表時如何合理選值？以什麼數為中心？當x取互為相反數的值時，y的值如何？
（2）觀察函式的圖象，你能得出什麼結論？
[實踐與探索]
例1．在同一直角座標系中，畫出下列函式的圖象，並指出它們有何共同點？有何不同點？
（1） （2）
解列表分別描點、連線，畫出這兩個函式的圖象，這兩個函式的圖象都是拋物線，如圖26．2．1．
共同點：都以y軸為對稱軸，頂點都在座標原點．
不同點：的圖象開口向上，頂點是拋物線的最低點，在對稱軸的左邊，曲線自左向右下降；在對稱軸的右邊，曲線自左向右上公升．
的圖象開口向下，頂點是拋物線的最高點，在對稱軸的左邊，曲線自左向右上公升；在對稱軸的右邊，曲線自左向右下降．
回顧與反思在列表、描點時，要注意合理靈活地取值以及圖形的對稱性，因為圖象是拋物線，因此，要用平滑曲線按自變數從小到大或從大到小的順序連線．
例2．已知是二次函式，且當時，y隨x的增大而增大．
（1）求k的值；
（2）求頂點座標和對稱軸．
解 （1）由題意，得， 解得k=2．
（2）二次函式為，則頂點座標為（0，0），對稱軸為y軸．
例3．已知正方形周長為ccm，面積為s cm2．
（1）求s和c之間的函式關係式，並畫出圖象；
（2）根據圖象，求出s=1 cm2時，正方形的周長；
（3）根據圖象，求出c取何值時，s≥4 cm2．
分析此題是二次函式實際應用問題，解這類問題時要注意自變數的取值範圍；畫圖象時，自變數c的取值應在取值範圍內．
解 （1）由題意，得．
列表：描點、連線，圖象如圖26．2．2．
（2）根據圖象得s=1 cm2時，正方形的周長是4cm．
（3）根據圖象得，當c≥8cm時，s≥4 cm2．
回顧與反思
（1）此圖象原點處為空心點．
（2）橫軸、縱軸字母應為題中的字母c、s，不要習慣地寫成x、y．
（3）在自變數取值範圍內，圖象為拋物線的一部分．
[當堂課內練習]
1．在同一直角座標系中，畫出下列函式的圖象，並分別寫出它們的開口方向、對稱軸和頂點座標．
（123）
2．（1）函式的開口 ，對稱軸是 ，頂點座標是
（2）函式的開口 ，對稱軸是 ，頂點座標是
3．已知等邊三角形的邊長為2x，請將此三角形的面積s表示成x的函式，並畫出圖象的草圖．
[本課課外作業]
a組1．在同一直角座標系中，畫出下列函式的圖象．
（12）
2．填空：
（1）拋物線，當x= 時，y有最值，是 ．
（2）當m= 時，拋物線開口向下．
（3）已知函式是二次函式，它的圖象開口 ，當x 時，y隨x的增大而增大．
3．已知拋物線中，當時，y隨x的增大而增大．
（1）求k的值； （2）作出函式的圖象（草圖）．
4．已知拋物線經過點（1，3），求當y=9時，x的值．
b組5．底面是邊長為x的正方形，高為0．5cm的長方體的體積為ycm3．（1）求y與x之間的函式關係式；（2）畫出函式的圖象；（3）根據圖象，求出y=8 cm3時底面邊長x的值；（4）根據圖象，求出x取何值時，y≥4．5 cm3．
6．二次函式與直線交於點p（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）寫出二次函式的關係式，並指出x取何值時，該函式的y隨x的增大而減小．
7． 乙個函式的圖象是以原點為頂點，y軸為對稱軸的拋物線，且過m（-2，2）．
（1）求出這個函式的關係式並畫出函式圖象；
（2）寫出拋物線上與點m關於y軸對稱的點n的座標，並求出⊿mon的面積．
[本課學習體會]
27.2 二次函式的圖象與性質（2）
[本課知識要點]
會畫出這類函式的圖象，通過比較，了解這類函式的性質．
[mm及創新思維]
同學們還記得一次函式與的圖象的關係嗎
你能由此推測二次函式與的圖象之間的關係嗎？
那麼與的圖象之間又有何關係？
[實踐與探索]
例1．在同一直角座標系中，畫出函式與的圖象．
解列表．
描點、連線，畫出這兩個函式的圖象，如圖26．2．3所示．
回顧與反思當自變數x取同一數值時，這兩個函式的函式值之間有什麼關係？反映在圖象上，相應的兩個點之間的位置又有什麼關係？
探索觀察這兩個函式，它們的開口方向、對稱軸和頂點座標有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此說出函式與的圖象之間的關係嗎？
例2．在同一直角座標系中，畫出函式與的圖象，並說明，通過怎樣的平移，可以由拋物線得到拋物線．
解列表．
描點、連線，畫出這兩個函式的圖象，如圖26．2．4所示．
可以看出，拋物線是由拋物線向下平移兩個單位得到的．
回顧與反思拋物線和拋物線分別是由拋物線向上、向下平移乙個單位得到的．
探索如果要得到拋物線，應將拋物線作怎樣的平移？
例3．一條拋物線的開口方向、對稱軸與相同，頂點縱座標是-2，且拋物線經過點（1，1），求這條拋物線的函式關係式．
解由題意可得，所求函式開口向上，對稱軸是y軸，頂點座標為（0，-2），
因此所求函式關係式可看作， 又拋物線經過點（1，1），
所以，， 解得．
故所求函式關係式為．
教案北師大二次函式的圖象與性質
2.2 二次函式的圖象和性質 第2課時 二次函式y ax2 c的圖象和性質 一 教學目標 知識與技能 能作出二次函式y ax2 c的圖象，並能夠比較它們與二次函式y ax2的圖象的異同，理解a與c對二次函式圖象的影響。能說出二次函式y ax2 c圖象的開口方向 對稱軸 頂點座標。過程與方法 經歷探索...
二次函式教案
二次函式的影象 教學目標 1 了解二次函式影象的特點。2 掌握一般二次函式的影象與的影象之間的關係。3 會確定影象的開口方向，會利用公式求頂點座標和對稱軸。教學重點 二次函式的影象特徵 教學難點 解題思路與解題技巧 教學設計 一 回顧知識 1 二次函式的影象和的影象之間的關係。2 對於函式，請回答下...
二次函式教案
二次函式 複習課 執教 呂雄 教學目的 理解並掌握二次函式的定義 會用畫出二次函式的圖象，能從圖象上認識二次函式的性質 會根據公式確定圖象的頂點 開口方向 對稱軸和增減性，並解決簡單的實際問題。通過對實際問題情境的分析確定二次函式的表示式，並體會二次函式的意義。教學過程 一,引入課題,明確複習目標 ...