數學試卷（理科）
一、選擇題
1、使成立的乙個必要不充分條件是（ ）
a. b. c. d.
2、湖北某中學開展向黃陂「信義兄弟」學習的活動，在高
一、高二、高三各選派2名同學分成3組到三個貧困戶開展送溫暖活動，要求到每個貧困戶的2名同學是不同年級的，則不同的安排方案總數為（ ）
a.48b.90c.96d.192
3、已知直線過點和，則直線的傾斜角的最大值為（ ）
abcd.
4、下列函式中，有反函式的是（ ）
a． b． c． d．
5、把曲線按向量平移，得到的曲線方程是（ ）
ab．cd．
6、已知正方體--中，m為ab中點，稜長為2，p是底面abcd上的動點，且滿足條件，則動點p在底面abcd上形成的軌跡是( )
a.圓 b.橢圓 c.雙曲線 d.拋物線
7、已知非零向量滿足則的值為( )
ab．2c．1d．
8、給出下列四個命題：
①若直線平面平面則
②若平面內有不共線的三點到平面的距離相等，則
③若乙個二面角的兩個半平面所在的平面分別垂直於另乙個二面角的兩個半平面所在的平面，則這兩個二面角的平面角互為補角；
④過空間中任意一點一定可以作乙個和兩條異面直線都平行的平面.
其中正確命題的個數有( )
a．1b．2c．3d．4
9、4張卡片上分別寫有數字1，2，3，4，從這4張卡片中隨機抽取2張，則取出的2張卡片上的數字之和為奇數的概率為（ ）
a． b． c． d．
10、設是正的邊上一點，從向邊作垂線，垂足為，從向邊作垂線，垂足為，從向邊作垂線，垂足為，如此無限地繼續下去，就得到垂足當時，點( )
a.有極限位置，且極限位置分有向線段的比為
b.有極限位置，且極限位置分有向線段的比為1
c.有極限位置，且極限位置分有向線段的比為2
d.有極限位置，且極限位置取決於初始位置，即位置改變，則極限位置也改變
二、填空題
11、設複數，且，則實數
12、一貨輪航行到m處，測得燈塔s在貨輪的北偏東15°相距20海浬處，隨後貨輪按照北偏西30°的方向航行，半小時後，又測得燈塔在貨輪的北偏東60°處，則貨輪的航行速度為海浬/小時。
13、從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的質量如下（單位：克）125 124 121 123 127則該樣本標準差克）（用數字作答）．
14、設為橢圓上一動點，為圓的任意一條直徑，則的最大值是
15、關於函式（為常數，且）,對於下列命題：
①函式在每一點處都連續； ②若，則函式在處可導；
③函式在r上存在反函式； ④函式有最大值；
⑤對任意的實數，恒有.
其中正確命題的序號是
三、解答題
16、在中，內角對邊的邊長分別是，已知，．
（ⅰ）若的面積等於，求；
（ⅱ）若，求的面積．
17、如圖，兩個工廠相距，點為的中點，現要以為圓心，為半徑的圓弧上的某一點處建一幢居民樓，其中據測算此居民樓受工廠的「噪音影響度」與距離的平方成反比，比例係數為1；受工廠的「噪音影響度」與距離的平方也成反比，比例係數為4.居民樓受兩廠的「總噪音影響度」是受兩廠「噪音影響度」的和，設為.
(ⅰ)求「總噪音影響度」關於的函式關係式，並求出該函式的定義域；
（ⅱ）當為多少時，「總噪音影響度」最小？
18、在如圖所示的幾何體中，平面，，是的中點，，，．
（ⅰ）證明平面；
（ⅱ）求二面角的余弦值．
19、如圖，以原點為頂點，以軸為對稱軸的拋物線的焦點為，點是直線
上任意一點，過點引拋物線的兩條切線分別交軸於點s , t，切點
分別為b、a。
（i）求拋物線的方程；
（ⅱ）求證：點s，t在以fm為直徑的圓上；
（ⅲ）當點在直線上移動時，直線ab恆過焦點f，
求的值。
20、已知函式，其中
（ⅰ）若在x=1處取得極值，求的值；
（ⅱ）若的最小值為1，求的取值範圍。
21、設數列滿足，且，．
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）對一切，證明成立；
（ⅲ）記數列,的前項和分別為、，證明：．
答案11、 12、 13、2 14、8 15、①②④
16、解：（ⅰ）由餘弦定理及已知條件得，，
又因為的面積等於，所以，得．
聯立方程組解得，．
（ⅱ）由題意得，
即，當時，，，，，
當時，得，由正弦定理得，
聯立方程組解得，．
所以的面積．
17、解法:（1）連線,設，則，在△中，由餘弦定理得，在△中，由餘弦定理得，，
則， ，
即，定義域為
（2）由（1）得
當且僅當取等號。即時，總噪音影響度最小。
注：也可以用求導的方法解決。
18、解： （ⅰ）因為平面，∥，所以平面．
故以為原點，建立如圖所示的空間直角座標系，則
相關各點的座標分別是，，，
所以，，．
因為，，
所以，．而，所以平面．
（ⅱ）由（ⅰ）知，，，．
設是平面的乙個法向量，由得
即．取，則．
設是平面的乙個法向量，由得
即．取，，則．
設二面角的大小為，則．
故二面角的余弦值是．
19、解：（i）設拋物線e的方程為，依題意，
所以拋物線e的方程為
（ⅱ）設點，否則切線不過點m
∴am⊥ft，即點t在以fm為直徑的圓上；同理可證點s在以fm為直徑的圓上，
所以s，t在以fm為直徑的圓上。
（ⅲ）拋物線
由則由（ⅱ）切線am的方程為，
同理消去
20、解：（ⅰ）
∵在x=1處取得極值，∴解得
①當時，在區間∴的單調增區間為
②當時，由∴
當時，由（ⅱ）①知，
當時，由（ⅱ）②知，在處取得最小值
綜上可知，若得最小值為1，則a的取值範圍是
21、解：（１）解
∴數列是以為首項，以為公比的等比數列
（２）證明：
建構函式
∴在內為減函式，則
∴ （∴，∴對一切，都成立
（３）證明：∵
∵由(２)可知∴∵
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