2023年適應性考試
文科數學
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，集合，，則（ ）
a． b． c． d．
2．設複數，，則（ ）
a． bc． d．
3．甲，乙，丙三名學生隨機站成一排，則甲站在邊上的概率為（ ）
a． bc． d．
4．設是兩個題，若是真命題，那麼（ ）
a．是真命題且是假命題b．是真命題且是真命題
c．是假命題且是真命題d．是真命題且是假命題
5．已知等比數列滿足：，
，則的通項公式（ ）
ab．c． d．
6． 執行右邊的程式框圖，如果輸入的，
則輸出的（ ）
abcd．
7．三角函式的振幅和最小正週期分別是（ ）
a． b． c． d．
8．已知過球面上有三點的截面到球心的距離是球半徑的一半，且，則此球的半徑是（ ）
abcd．
9．在等腰三角形中，，，則（ ）
abc． d．
10．已知橢圓的離心率為，橢圓上一點到兩焦點距離之和為，則（ ）
abcd．
11．某幾何體的三檢視如圖所示，圖中的四邊形都是邊長為的正方形，兩條虛線互相垂直且相等，則該幾何體的體積是（ ）
abc． d．
12．已知是第二象限的角，其終邊上的一點為，
且，則（ ）
abc． d．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．
13．已知實數滿足約束條件，若目標函式僅在點處取得最小值，則的取值範圍是
14．已知雙曲線的左焦點在拋物線的準線上，則
15．已知是定義域為的單調減的奇函式，若，則的取值範圍是
16．頂點在單位圓上的，角所對應的邊分別為．若，，則
三、解答題：解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
數列的各項均為正數，為其前項和，且對任意的，均有，，成等差數列．
（1）求的值；
（2）求數列的通項公式．
18．（本小題滿分12分）
某學校的籃球興趣小組為調查該校男女學生對籃球的喜好情況，用簡單隨機抽樣方法調查了該校名學生，調查結果如下：
（1）該校共有名學生，估計有多少學生喜好籃球？
（2）能否有%的把握認為該校的學生是否喜歡籃球與性別有關？說明原因；
50名女生中按是否看營養說明採取分
（3）已知在喜歡籃球的名女生中，名女生（分別記為同時喜歡桌球，名女生(分別記為）同時喜歡羽毛球，名女生(分別記為同時喜歡排球， 現從喜歡桌球、羽毛球、排球的女生中各取人，求不全被選中的概率．
附：，．
參考資料：
19．（本小題滿分12分）
如圖所示，在直三稜柱中，底面的稜，且．點、在稜上，且
（1）證明：平面；
（2）求點到平面的距離．
20．（本小題滿分12分）
已知點及直線．為平面上的動點，過作直線的垂線，垂足為，且．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）設圓過點且圓心在的軌跡上，是圓在軸上截得的弦，證明弦長是乙個常數．
21．（本小題滿分12分）
設函式．
（1）當時，證明：，有；
（2）若曲線有經過點的切線，求的取值範圍．
請考生在22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時請寫清楚題號．
22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖所示，是半圓的直徑，，垂足為，，與、分別交於點、．
（1）證明：；
（2）證明：．
23．（本小題滿分10分）選修4-4：座標系與引數方程
在直角座標系中，過點的直線的傾斜角為．以座標原點為極點，軸正半軸為極座標建立極座標系，曲線的極座標方程為,直線和切線的交點為．
（1）求直線的引數方程；
（2）求．
24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
設函式．
（1）當時，求不等式的解集；
（2）若時有，求的取值範圍．
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