2023年適應性考試
理科數學
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，，則（ ）
a． b． c． d．
2．若為純虛數，其中r，則（ ）
a． bc． d．
3．設為數列的前項的和，且，則（ ）
a． b． c． d．
4． 執行如圖的程式框圖，如果輸入的，則輸出的（ ）
abcd．
5．三角函式的振幅和最小正週期分別是（ ）
a． b． c． d．
6．一空間幾何體的三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）
abcd．
7．設、是兩個命題，若是真命題，那麼（ ）
a．是真命題且是假命題
b．是真命題且是真命題
c．是假命題且是真命題
d．是假命題且是假命題
8．從乙個邊長為的等邊三角形的中心、各邊中點及三個頂點這個點中任取兩個點，則這兩點間的距離小於的概率是（ ）
abcd．
9．已知平面向量、滿足，，則（ ）
abcd．
10．的展開式中，常數項等於（ ）
abcd．
11．已知雙曲線的頂點為橢圓長軸的端點，且雙曲線的離心率與橢圓的離心率的乘積等於，則雙曲線的方程是（ ）
a． b． c． d．
12．如果定義在r上的函式滿足：對於任意，都有
，則稱為「函式」．給出下列函式：①；②；③；④，其中「函式」的個數是（ ）
abcd．
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．
13．已知實數，滿足約束條件，若目標函式僅在點取得最小值，則的取值範圍是
14．已知雙曲線的左焦點在拋物線的準線上，則 ．
15．已知數列的各項均為正數，為其前項和，且對任意的n，均有，，成等差數列，則
16．已知函式的定義域為r，直線和是曲線的對稱軸，且，則
三、解答題：解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟．
17．（本小題滿分12分）
已知頂點在單位圓上的中，角、、的對邊分別為、、，且
．（1）的值；
（2）若，求的面積．
18．（本小題滿分12分）
某單位共有名員工，他們某年的收入如下表：
（1）求該單位員工當年年薪的平均值和中位數；
（2）從該單位中任取人，此人中年薪收入高於萬的人數記為，求的分布列和期望；
（3）已知員工年薪收入與工作年限成正線性相關關係，若某員工工作第一年至第四年的年薪分別為萬元、萬元、萬元、萬元，**該員工第五年的年薪為多少？
附：線性回歸方程中係數計算公式：，，
其中、表示樣本均值．
19．（本小題滿分12分）
如圖，在直二面角中，四邊形是矩形，，，是以為直角頂點的等腰直角三角形，點是線段上的一點，．
（1）證明：面；
（2）求異面直線與所成的角的余弦值．
20．（本小題滿分12分）
已知拋物線：，過其焦點作兩條相互垂直且不平行於軸的直線，分別交拋物線於點，和點，，線段，的中點分別記為，．
（1）求面積的最小值；
（2）求線段的中點滿足的方程．
21．（本小題滿分12分）
設函式（）．
（1）求的單調區間；
（2）求的零點個數；
（3）證明：曲線上沒有經過原點的切線．
請考生在第22、23、24題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，作答時請寫清題號．
22．（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講
如圖所示，是半圓的直徑，，垂足為，，與、分別交於點、．
（1）證明：；
（2）證明：．
23．（本小題滿分10分）選修4-4：座標系與引數方程
在直角座標系中，過點的直線的傾斜角為．以座標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極座標系，曲線的極座標方程為,直線和曲線的交點為點．
（1）求直線的引數方程；
（2）求的值．
24．（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講
設函式．
（1）當時，求不等式的解集；
（2）若時有，求的取值範圍．
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