第四編三角函式
一．要點集結
1．同角公式：
(1) 平方關係：sin2α＋cos2α＝1，(2) 商數關係：tanα＝ .
2．誘導公式：
規律：奇變偶不變，符號看象限
二．考點**
考點1.誘導公式
例1. 已知f()=;
（1）化簡f();
（2）若是第三象限角，且cos，求f()的值.
解 ：（1）f（）==-cos.
（2）∵cos=-sin,
∴sin=-,cos=-,
∴f()=.
【變式】已知a＝則a構成的集合是
考點2.基本關係式
例2．已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
解由已知得tan α＝.
(1)＝＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2＝sin2α＋sin αcos α＋2(cos2α＋sin2α)
＝＝＝＝.
例3.已知sin +cos=,∈(0,).求值：
（1）tan;（2）sin-cos;（3）sin3+cos3.
解方法一 ∵sin+cos=,∈(0,),∴(sin+cos)2==1+2sincos，
∴sincos=-＜0.
由根與係數的關係知，sin,cos是方程x2-x-=0的兩根，
解方程得x1=,x2=-.
∵sin＞0,cos＜0,∴sin=,cos =-.
∴（1）tan=-.（2）sin-cos=.（3）sin3+cos3=.
方法二 （1）同方法一.
（2）（sin-cos）2=1-2sin·cos=1-2×=.
∵sin＞0,cos＜0,∴sin-cos＞0,∴sin-cos=.
（3）sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=×=.
三．疑點詮釋
1．同角三角函式的關係式的基本用途：根據乙個角的某乙個三角函式值，求出該角的其他三角函式值；化簡同角三角函式式；證明同角的三角恒等式．
2．誘導公式的作用：誘導公式可以將求任意角的三角函式值轉化為0°~90角的三角函式值．
四．熱點研習
1. (2023年南京調研)cos
解析：cos＝cos＝－cos＝－.答案：－
2. 若sin(＋α)＝，則cos
解析：cos(－α)＝cos[－(＋α)]＝sin(＋α)＝.答案：
3. (2010·合肥聯考)已知cos則tan
解析 cos(π－α)＝－cos α＝，∴cos α＝－.
又α∈，∴sin α<0.∴sin α＝－＝－.∴tan α＝＝.
4. (2023年合肥質檢)已知sinx＝2cosx，則＝______.
解析：∵sinx＝2cosx，∴tanx＝2，∴＝＝.
5. (2023年蘇州調研)已知tanx＝sin(x＋)，則sinx
解析：∵tanx＝sin(x＋)＝cosx，∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝.答案：
6. (2023年高考浙江卷改編)若cosα＋2sinα＝－，則tan
解析：由
將①代入②得(sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－，cosα＝－，∴tanα＝2.
答案：2
7. (2010·青島調研)已知函式f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且f(2 009)＝3，則f(2 010)的值是
解析 f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β＝3.
∴asin α＋bcos β＝－3.
∴f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)＝asin α＋bcos β＝－3.
8. (2009·湛江三模)已知sin(2π－α)＝，α∈，則
解析 sin(2π－α)＝－sin α＝，∴sin α＝－.又α∈，∴cos α＝.
∴＝.9. 已知sin(π－α)cos(－8π－α)＝，且α∈(，)，求cosα，sinα的值．
解：由題意，得2sinαcosα＝.①又∵sin2α＋cos2α＝1，②
①＋②得：(sinα＋cosα)2＝，②－①得：(sinα－cosα)2＝.
又∵α∈(，)，∴sinα>cosα>0，即sinα＋cosα>0，sinα－cosα>0，
∴sinα＋cosα＝.③sinα－cosα＝，④
③＋④得：sinα＝.③－④得：cosα＝.
10. (2010·揭陽聯考)已知sin(3π＋θ)＝，求值:
＋ .解 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝，∴sin θ＝－，
∴原式＝＋
＝＋＝＋＝
＝＝＝18.
11. (2010·菏澤模擬)已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝.求下列各式的值：
(1)sin α－cos α；
(2)sin3＋cos3.
解由sin(π－α)－cos(π＋α)＝，
得sin α＋cos α＝.①
將①式兩邊平方，得1＋2sin α·cos α＝，故2sin α·cos α＝－，
又<α<π，∴sin α>0，cos α<0.∴sin α－cos α>0.
(1)(sin α－cos α)2＝1－2sin α·cos α＝1－＝，
∴sin α－cos α＝.
(2)sin3＋cos3＝cos3α－sin3α
＝(cos α－sin α)(cos2α＋cos α·sin α＋sin2α)
＝×＝－.
同角三角函式基本關係式
學習目標 了解同角三角函式基本關係式的推導，能運用公式解決簡單的求值 化簡 證明等問題 自主學習 在單位圓中，由三角函式的定義和勾股定理，可得1.平方關係 sin2x cos2x 2.商數關係 3.倒數關係 sincsccossectancot自我檢測 1.下面四個命題中可能成立的乙個是 且cos ...
同角三角函式基本關係式
編者 鄒茂鵬審核 馬俊傑 使用說明與學法指導 1 請同學認真閱讀課本22 24頁，劃出重要知識，規範完成預習案內容並記熟基礎知識，用紅筆做好 疑難標記。2 在課堂上聯絡課本知識和學過的知識，小組合作 討論完成 案內容 組長負責，拿出討論 結果，準備展示 點評。3 及時整理展示 點評結果，規範完成訓練...
4 2同角三角函式的基本關係式及誘導公式課時規範練
課時規範練 二十一 1 下列各數中與sin2 015 的值最接近的是 ab.c d 答案 c 解析 2 015 5 360 180 35 sin2 015 sin35 和 sin30 接近，選c.2 已知tanx 2，則sin2x 1的值為 a 0b.c.d.答案 b 解析 sin2x 1 故選b....