圖形的軸對稱、平移與旋轉
a級基礎題
1．(2023年內蒙古呼和浩特)觀察圖6114所示的圖形，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有( )
圖6114
a. 1 個 b. 2 個 c. 3 個 d. 4 個
2．(2023年四川遂寧)將點a(3,2)沿x軸向左平移4個單位長度得到點a′，點a′關於y軸對稱的點的座標是( )
a．(－3,2) b．(－1,2) c．(1,2) d. (1，－2)
3．(2023年四川涼山州)如圖6115，∠3＝30°，為了使白球**後能將黑球直接撞入袋中，那麼擊打白球時，必須保證∠1的度數為( )
a．30° b．45° c．60° d．75°
圖6115 圖6116 圖6117
4．(2023年浙江義烏)如圖6116，將周長為8的△abc沿bc方向平移1個單位得到△def，則四邊形abfd的周長為( )
a．6 b．8 c．10 d．12
5．(2023年浙江湖州)如圖6117，已知四邊形abcd是矩形，把矩形沿直線ac摺疊，點b落在點e處，連線de.若de∶ac＝3∶5，則的值為( )
a. b. c. d.
6．(2023年貴州遵義)把一張正方形紙片按如圖6118(1)、(2)對折兩次後，再按如圖6118(3)挖去乙個三角形小孔，則展開後的圖形是( )
a b c d
圖6118圖6119
7．(2023年河北)如圖6119，在四邊形abcd中，點m，n分別在ab，bc上，將△bmn沿mn翻摺，得△fmn，若mf∥ad，fn∥dc，則∠b
8．(2023年黑龍江牡丹江)菱形abcd在平面直角座標系中的位置如圖6120所示，a(0,6)，d(4,0)，將菱形abcd先向左平移5個單位長度，再向下平移8個單位長度，然後在座標平面內繞點o旋轉90°，則邊ab中點的對應點的座標為
圖6120圖6121
9．(2023年四川廣元)以圖6121(1)(以o為圓心，半徑為1的半圓)作為「基本圖形」，分別經歷如下變換能得到圖6121(2)的有
①只要向右平移1個單位；
②先以直線ab為對稱軸進行翻摺，再向右平移1個單位；
③先繞著點o旋轉180°，再向右平移1個單位；
④繞著ob的中點旋轉180°即可．
10．(2023年黑龍江龍東)如圖6122，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，△abc在平面直角座標系中的位置如圖所示．
(1)將△abc向上平移3個單位，得到△a1b1c1，請畫出△a1b1c1；
(2)作出△a1b1c1關於y軸的對稱圖形△a2b2c2；
(3)將△abc繞點o順時針旋轉90°，請畫出旋轉後的a3b3c3，求點b在旋轉過程中所經過的路徑長(結果保留π)．
圖6122
b級中等題
11．(2023年湖南益陽)如圖6123(1)，在△abc中，∠a＝36°，ab＝ac，∠abc的平分線be交ac於e.
(1)求證：ae＝bc；
(2)如圖6123(2)，過點e作ef∥bc交ab於f，將△aef繞點a逆時針旋轉角α(0°＜α＜144°)得到△ae′f′，連線ce′，bf′，求證：ce′＝bf′；
(3)在(2)的旋轉過程中是否存在ce′∥ab？若存在，求出相應的旋轉角α；若不存在，請說明理由．
圖6123
c級拔尖題
12．(2023年貴州省六盤水)(1)觀察發現．
如圖6124(1)：若點a，b在直線m的同側，在直線m上找一點p，使ap＋bp的值最小，做法如下：作點b關於直線m的對稱點b′，連線ab′，與直線m的交點就是所求的點p，線段ab′的長度即為ap＋bp的最小值．
如圖6124(2)：在等邊三角形abc中，ab＝2，點e是ab的中點，ad是高，在ad上找一點p，使bp＋pe的值最小，做法如下：作點b關於ad的對稱點，恰好與點c重合，連線ce交ad於一點．則這就是所求的點p，故bp＋pe的最小值為
圖6124
(2)實踐運用．
如圖6124(3)：已知⊙o的直徑cd為2，的度數為60°，點b是的中點，在直徑cd上作出點p，使bp＋ap的值最小，則bp＋ap的最小值為
(3)拓展延伸．
如圖6124(4)：點p是四邊形abcd內一點，分別在邊ab，bc上作出點m，n，使pm＋pn的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法．
圖形的軸對稱、平移與旋轉
1．c 7.95
8．(－5,7)或(5，－7) 9.②③④
10．解：(1)圖略． (2)圖略． (3)圖略．
點b在旋轉過程中所經過的路徑長為：
＝π.11．(1)證明：∵ab＝ac，∠a＝36°，
∴∠abc＝∠c＝72°.
又be平分∠abc，∴∠abe＝∠cbe＝36°.
∴∠bec＝180°－∠c－∠cbe＝72°.
∴∠abe＝∠a，∠bec＝∠c.
∴ae＝be，be＝bc.∴ae＝bc.
(2)證明：∵ac＝ab，且ef∥bc，∴ae＝af.
由旋轉的性質，可知∠e′ac＝∠f′ab，ae′＝af′.
∴△cae′≌△baf′.∴ce′＝bf′.
(3)解：存在．
由(1)可知ae＝bc，則在△aef繞點a逆時針旋轉過程中，e點經過的路徑(圓弧)與過點c且與ab平行的直線l交於m，n兩點，如圖38.
①當點e的像e′與點m重合時，
則四邊形abcm為等腰梯形．
∴∠bam＝∠abc＝72°.
又∠bac＝36°，∴α＝∠cam＝36°.
②當點e的像e′與點n重合時，
由ab∥l，得∠amn＝∠bam＝72°.
∵am＝an，∴∠anm＝∠amn＝72°.
∴∠man＝180°－2×72°＝36°.
∴α＝∠can＝∠cam＋∠man＝72°.
綜上所述，當旋轉角為36°或72°時，ce′∥ab.
圖3812．解：(1)
(2) 解析：如圖39，作b點關於cd的對稱點e，連線ae，交cd於點p，連線oa，ob，oe，pa，pb，∵的度數為60°，且點b是的中點，∴∠boc＝∠aob＝30°.∵點b與點e關於cd對稱，∴∠coe＝∠boc＝30°.
∴∠aoe＝3×30°＝90°.∵⊙o的直徑cd為2，∴oa＝oe＝1.在rt△aoe中，ae＝＝＝.
∴bp＋ap＝ep＋ap＝ae＝.
(3)如圖40.
圖39圖40
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