分類討論思想專題——幾何部分（一）
教學目的：
1、讓學生識別分類討論思想應用的相關考點；
2、讓學生掌握分類討論思想在幾何中的應用型別。
教學重難點：
1、重點是分類討論考點的識別；2、難點是分類討論思想的掌握應用。
教學內容：
一、分類討論思想
數學問題比較複雜時，有時可以分解成若干小問題或一系列步驟進行分類並分別加以討論的方法，我們稱為分類討論法或分類討論思想。
二、分類討論思想應把握的原則
明確物件，不重不漏，逐級討論，綜合作答。
三、分類討論思想的應用
[線段中分類討思想的應用]——線段及端點位置的不確定性引發討論。
例1已知直線ab上一點c，且有ca=3ab，則線段ca與線段cb之比為_3：2_或_3：4____。
練習：已知a、b、c三點在同一條直線上，且線段ab=7cm，點m為線段ab的中點，線段bc=3cm，點n為線段bc的中點，求線段mn的長.
解析：(1)點c**段ab上2)點c**段ab的延長線上
例2下列說法正確的是（ ）
a、 兩條線段相交有且只有乙個交點。b、如果線段ab=ac那麼點a是bc的中點。
b、 兩條射線不平行就相交。d、不在同一直線上的三條線段兩兩相交必有三個交點。
[與角有關的分類討論思想的應用]——角的一邊不確定性引發討論。
例3在同一平面上，∠aob=70°，∠boc=30°，射線om平分∠aob，on平分∠boc，求∠mon的大小。（20°或50°）
[練習] 已知,過o作一條射線oc，射線oe平分，射線od平分，求的大小。
（1）射線oc在內 （2）射線oc在外
這兩種情況下，都有
小結：（對分類討論結論的反思）——為什麼結論相同？雖然的大小不確定，但是所求的與的大小無關。
我們雖然分了兩類，但是結果是相同的！這也體現了分類討論的最後乙個環節——總結的重要性。
[三角形中分類討論思想的應用]
一般有以下四種型別：一是由於一般三角形的形狀不確定而進行的分類；二是由於等腰三角形的腰與底不確定而進行的分類；三是由於直角三角形的斜邊不確定而進行的分類；四是由於相似三角形的對應角(或邊)不確定而進行的分類。
1、三角形的形狀不定需要分類討論
例4、 在△abc中，∠b＝25°，ad是bc上的高，並且，則∠bca的度數為
解析：因未指明三角形的形狀，故需分類討論。如圖1，當△abc的高在形內時，由， 得△abd∽△cad，進而可以證明△abc為直角三角形。
由 ∠b＝25°。可知∠bad＝65°。所以∠bca＝∠bad＝65°。
如圖2，當高ad在形外時，此時△abc為鈍角三角形。由，得△abd∽△cad所以∠b＝∠cad＝25°
∠bca＝∠cad＋∠adc＝25°＋90°＝115°
2、等腰三角形的分類討論：
a、在等腰三角形中求邊：等腰三角形中，對給出的邊可能是腰，也可能是底邊，所以我們要進行分類討論。
例5、已知等腰三角形的一邊等於5，另一邊等於6，則它的周長等於
[練習]若等腰三角形一腰上的中線分周長為9cm和12cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長。
簡析：已知條件並沒有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，應有兩種情形。若設這個等腰三角形的腰長是cm，底邊長為cm，可得或解得或即當腰長是6cm時，底邊長是9cm；當腰長是8cm時，底邊長是5cm。
b、在等腰三角形中求角：等腰三角形的乙個角可能指底角，也可能指頂角，所以必須分情況討論。
例6、已知等腰三角形的乙個內角為75°則其頂角為（ ）
a. 30b. 75c. 105d. 30°或75°
[練習]1、等腰三角形一腰上的高與另一腰所成的夾角為45°，求這個等腰三角形的頂角的度數。
簡析：依題意可畫出圖1和圖2兩種情形。圖1中頂角為45°，圖2中頂角為135°。
2、在δabc中，ab=ac，ab的中垂線與ac所在直線相交所得的銳角為50°，則底角∠b
3、直角三角形中，直角邊和斜邊不明確時需要分類討論
例7、 已知x，y為直角三角形兩邊的長，滿足，則第三邊的長為
解析：由，可得且
分別解這兩個方程，可得滿足條件的解，或
由於x，y是直角邊長還是斜邊長沒有明確，因此需要分類討論。
當兩直角邊長分別為2，2時，斜邊長為；
當直角邊長為2，斜邊長為3時，另一直角邊的長為；
當一直角邊長為2，另一直角邊長為3時，斜邊長為。
綜上，第三邊的長為或或。
4、相似三角形的對應角(或邊)不確定而進行的分類。
例8、如圖所示，在中，是的中點，過點的直線交於點，若以為頂點的三角形和以為頂點的三角形相似，則的長為（ ）
(a)3b)3或c)3或 (d)
析解：由於以為頂點的三角形和以為頂點的三角形有乙個公共角（），因此依據相似三角形的判定方法，過點的直線應有兩種作法：一是過點作∥，這樣根據相似三角形的性質可得，即，解得；二是過點作，交邊於點，這時，於是有，即，解得.
所以的長為3或，故應選(b)。
四、本節小結
分類討論思想是在解決問題出現不確定性時的有效方法。線段及端點的不確定；角的一邊不確定；三角形形狀不確定；等腰三角形腰或頂角不確定；直角三角形斜邊不確定；相似三角形對應角（邊）不確定等，都需要我們正確地運用分類討論的思想進行解決。分類討論思想不僅可以使我們有效地解決一些問題，同時還可以培養我們的觀察能力和全面思考問題的能力。
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