成都市三原外語學校李冬泉
一、知識要點回顧：
1、勾股定理：直角三角形兩直角邊的等於斜邊的 ；如果直角三角形兩直角邊分別為a、b，斜邊為c ，那麼
思考：（1）a2,b2,c2分別代表什麼？（2）a2與a的單位的關係。
（3）變式：由a2+b2=c2得a= 或b或c4）運用勾股定理的前提是：必須知道有乙個直角）
2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足那麼這個三角形是
3、勾股數：滿足a2+b2=c2的三個 a,b,c,成為勾股數；寫出常用的幾組勾股數
4．如圖，直角△abc的主要性質是：∠c=90°，（用幾何語言表示）
⑴兩銳角之間的關係
⑵若d為斜邊中點，則斜邊中線
⑶若∠b=30°，則∠b的對邊和斜邊
⑷三邊之間的關係
二、典型例題解析與練習
專題一：勾股定理
例題1、在rt△abc，∠c=90°則：⑴已知a=b=5，求c2。
⑵已知a=1,c=2, 求b2已知c=17,b=8, 求a。
⑷已知a：b=3：4,c=25, 求 b。 ⑸已知b=15，∠a=30°，求a，c。
練習：1、在rt△abc，∠c=90°，a=8，b=15，則c= 。
2、在rt△abc，∠b=90°，a=3，b=4，則c= 。
3、在rt△abc，∠c=90°，c=25，a：b=3：4，則a= ，b= 。
4、乙個直角三角形的三邊為三個連續偶數，則它的三邊長分別為
例題2、已知直角三角形的兩邊長分別為5和12，求第三邊。
練習：1、已知直角三角形的兩邊長分別為3cm和5cm，，則第三邊長為
2、已知等邊三角形的邊長為2cm，則它的高為 ，面積為
例題3、已知：如圖，等邊△abc的邊長是6cm。⑴求等邊△abc的高
⑵求s△abc。
例題4、 如圖，有乙個直角三角形紙片，兩直角邊ac=18cm，bc=24cm，現將直角邊ac沿直線ad摺疊，使它落在斜邊ab上,且與ae重合,你能求出bd的長嗎？
練習。 如圖，在矩形abcd中，ab＝5cm，在邊cd上適當選定一點e，沿直線ae把△ade摺疊，使點d恰好落在邊bc上一點f處，且△abf的面積是30cm．求此時ad的長．
例題5、乙個直角三角形的周長為9，斜邊為4，求這個三角形的面積。
練習：1．直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高為_______．
2．直角三角形的三邊長為連續偶數，則這三個數分別為
3、圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形a、b、c、d的邊長分別是3、5、2、3，則最大正方形e的面積是_________
（3題圖） （第4題圖第5題圖） （第6題圖）
4、如圖，在△abc中，ce是ab邊上的中線，cd⊥ab於d,且ab=5,bc=4,ac=6,則de的長為_______.
5、如圖，已知△abc中，∠abc＝90°,ab＝bc，三角形的頂點在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2 , l2，l3之間的距離為3 ,則ac的長是
6、（2023年湖南長沙）如圖，等腰中，，是底邊上的高，若，則 cm．
專題二：勾股定理的逆定理
例題1、判斷由線段abc組成的三角形是不是直角直角三角形：
（1）a=15，b=8，c=17 （2）a=13，b=14，c=15 （3）三邊長之比為 3∶4∶5；
練習： 1、試判斷下列三角形是否是直角三角形：
⑴a=9，b=41，c=40； ⑵a=15，b=16，c=6；（3）a=5k，b=12k，c=13k（k＞0）。
（4） 三邊長之比為 1∶1∶2；（5） △abc的三邊長為a、 b、 c，滿足a－b＝c．
2、一根30公尺長的細繩折成3段，圍成乙個三角形，其中一條邊的長度比較短邊長7公尺，比較長邊短1公尺，請你試判斷這個三角形的形狀。
例題2：已知：在△abc中，∠a∠b∠c的對邊分別是abc，a=n2－1，b=2n，c=n2＋1（n＞1）求證：∠c=90°。
例題3、若△abc的三邊abc滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，求△abc的面積。
練習：1．若△abc的三邊abc，滿足（a－b）（a2＋b2－c2）=0，則△abc是（ ）
a．等腰三角形；b．直角三角形；c．等腰三角形或直角三角形；d．等腰直角三角形。
練習：1．△abc中∠a∠b∠c的對邊分別是abc，下列命題中的假命題是（ ）
a．如果∠c－∠b=∠a，則△abc是直角三角形。
b．如果c2= b2—a2，則△abc是直角三角形，且∠c=90°。
c．如果（c＋a）（c－a）=b2，則△abc是直角三角形。
d．如果∠a：∠b：∠c=5：2：3，則△abc是直角三角形。
2、在△abc中，若a2=b2－c2，則△abc是三角形是直角；
若a2＜b2－c2，則∠b是
3、若在△abc中，a=m2－n2，b=2mn，c= m2＋n2，則△abc是三角形。
4、如圖，ad⊥bc，垂足為d，如果cd=1，ad=2，bd=4，試判斷δabc的形狀，並說明理由。
專題三：勾股定理的應用
例題1、 求下列陰影部分的面積：
（1） 陰影部分是正方形； （2） 陰影部分是長方形； （3） 陰影部分是半圓．
練習：若的三條邊長分別為7cm、24cm、25cm。則_______
例題2、如圖，在乙個高為3公尺，長為5公尺的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度為公尺。
例題3、如圖，一架長為5公尺的梯子ab斜靠在與地面om垂直的牆on上，梯子底端距離牆on有3公尺。
①求梯子頂端與地面的距離oa的長。
②若梯子頂點a下滑1公尺到c點，
求梯子的底端向右滑到d的距離。
練習：1、如圖，從電線桿離地面6 m處向地面拉一條長10 m的固定纜繩，這條纜繩在地面的固定點距離電線桿底部有m．
2、如圖，某人欲橫渡一條河，由於水流的影響，實際上岸地點c偏離欲到達點b200m，結果他在水中實際遊了520m，求該河流的寬度為
3、（2009**市）如圖，四邊形abcd中，ab＝bc，∠abc＝∠cda＝90°，be⊥ad於點e，且四邊形abcd的面積為8，則be
第3題圖） （第4題圖第5題圖）
4、（2009恩施市）如圖，長方體的長為15，寬為10，高為20，點離點的距離為5，乙隻螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離是
5、（2023年濱州）某樓梯的側面檢視如圖4所示，其中公尺，，，因某種活動要求鋪設紅色地毯，則在ab段樓梯所鋪地毯的長度應為 ．
思維拓展：
1、如圖，四邊形abcd中，ab=20，bc=15，cd=7，da=24，∠b=90°，求證：∠a+∠c=180°
2．如圖，梯子ab靠在牆上，梯子的底端a到牆根o的距離為2公尺，梯子的頂端b到地面的距離為7公尺．現將梯子的底端a向外移動到a』，使梯子的底端a』到牆根o的距離等於3公尺，同時梯子的頂端 b下降至 b』，那麼 bb』的值： ①等於1公尺；②大於1公尺5；③小於1公尺.其中正確結論的序號是 ．
3、已知：如圖，∠b=∠d=90°，∠a=60°，ab=4，cd=2。求：四邊形abcd的面積。
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勾股定理知識總結 一 基礎知識點 1 勾股定理 直角三角形兩直角邊a b的平方和等於斜邊c的平方。即 a2 b2 c2 應用 1 已知直角三角形的兩邊求第三邊 在中，則，2 已知直角三角形的一邊與另兩邊的關係，求直角三角形的另兩邊 3 利用勾股定理可以證明線段平方關係的問題 練習題 1.在rt ab...
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