勾股定理知識總結
一．基礎知識點：
1：勾股定理
直角三角形兩直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方。（即：a2+b2＝c2）
應用：（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊（在中，，則，，）
（2）已知直角三角形的一邊與另兩邊的關係，求直角三角形的另兩邊
（3）利用勾股定理可以證明線段平方關係的問題
練習題：
1. 在rt△abc中，∠c=90°
（1）若a=5，b=12，則c
（2）b=8，c=17，則s△abc
2.若乙個三角形的三邊之比為5∶12∶13，則這個三角形是________（按角分類）。
3. 直角三角形的三邊長為連續自然數，則其周長為________。
觀察下列幾組資料:(1) 8, 15, 17; (2) 7, 12, 15; (3)12, 15, 20; (4) 7, 24, 25. 其中能作為直角三角形的三邊長的有( )組
a. 1b. 2c. 3d. 4
4.已知直角三角形的兩條邊長分別是5和12，則第三邊為 （ ）
或 ｄ． 不能確定
5.在中，．
⑴已知，．求的長
⑵已知，，求的長分析
2：勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長：a、b、c，則有關係a2+b2＝c2，那麼這個三角形是直角三角形。
要點詮釋：
勾股定理的逆定理是判定乙個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過「數轉化為形」來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時應注意：
（1）首先確定最大邊，不妨設最長邊長為：c；
（2）驗證c2與a2+b2是否具有相等關係，若c2＝a2+b2，則△abc是以∠c為直角的直角三角形
（若c2>a2+b2，則△abc是以∠c為鈍角的鈍角三角形；若c2（定理中，，及只是一種表現形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，，滿足，那麼以，，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊）
練習題：
1.如圖3，正方形abcd中，e是bc邊上的中點，f是ab上一點，且那麼△def是直角三角形嗎？為什麼？
2. 如圖，正方形網格中的△abc，若小方格邊長為1，則△abc是 （ ）
a）直角三角形 (b)銳角三角形 (c)鈍角三角形 (d)以上答案都不對
3.三個正方形的面積如圖，正方形a的面積為（ ）
a. 6b.４ c. 64d. 8
4.下列命題①如果a、b、c為一組勾股數，那麼4a、4b、4c仍是勾股數；②如果直角三角形的兩邊是5、12，那麼斜邊必是13；③如果乙個三角形的三邊是12、25、21，那麼此三角形必是直角三角形；④乙個等腰直角三角形的三邊是a、b、c，那麼a2∶b2∶c2=2∶1∶1。其中正確的是（ ）
abcd、②④
5．如果rt△兩直角邊的比為5∶12，則斜邊上的高與斜邊的比為（ ）
a、60∶13 b、5∶12 c、12∶13 d、60∶169
6．已知rt△abc中，∠c=90°，若a+b=14cm，c=10cm，則rt△abc的面積是（ ）
a、24cm2b、36cm2 c、48cm2 d、60cm2
7. 在△abc中，ab=15，ac=13，高ad=12，則△abc的周長為
a．42b．32c．42或32 d．37或3
8.三角形的三邊長為（a+b）2=c2+2ab,則這個三角形是( )
a. 等邊三角形; b. 鈍角三角形; c. 直角三角形; d. 銳角三角形.
3：勾股定理與勾股定理逆定理的區別與聯絡
區別：勾股定理是直角三角形的性質定理，而其逆定理是判定定理；
聯絡：勾股定理與其逆定理的題設和結論正好相反，都與直角三角形有關。
4：互逆命題的概念
如果乙個命題的題設和結論分別是另乙個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。
規律方法指導
1．勾股定理的證明實際採用的是圖形面積與代數恒等式的關係相互轉化證明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數量關係，可以用於解決求解直角三角形邊邊關係的題目。
3．勾股定理在應用時一定要注意弄清誰是斜邊誰直角邊，這是這個知識在應用過程中易犯的主要錯誤。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三條邊長a，b，c有下列關係：a2+b2＝c2，那麼這個三角形是直角三角形；該逆定理給出判定乙個三角形是否是直角三角形的判定方法．
5.應用勾股定理的逆定理判定乙個三角形是不是直角三角形的過程主要是進行代數運算，通過學習加深對「數形結合」的理解．
我們把題設、結論正好相反的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中乙個叫做原命題，那麼另乙個叫做它的逆命題。（例：勾股定理與勾股定理逆定理）
5：勾股數
①能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數稱為勾股數，即中，，，為正整數時，稱，，為一組勾股數
②記住常見的勾股數可以提高解題速度，如；；；等
6.勾股定理的應用
（1）直接法
1.水池中離岸邊d點1.5公尺的c處，直立長著一根蘆葦，出水部分bc的長是0.5公尺，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端b恰好落到d點，並求水池的深度ac.
2.有乙個感測器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5公尺的牆上，任何東西只要移至5公尺以內，燈就自動開啟，乙個身高1.5公尺的學生，要走到離門多遠的地方燈剛好開啟？
3．有乙個小朋友拿著一根竹竿要通過乙個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等於門的對角線長，已知門寬4尺， 求竹竿高與門高。
4.一架方梯長25公尺，如圖，斜靠在一面牆上，梯子底端離牆7公尺，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4公尺，那麼梯子的底端在水平方向滑動了幾公尺？
勾股定理專題證明
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