4.3 平面向量的應用
教學內容：平面向量的應用（1課時）
教學目標：融會貫通平面向量的概念、座標表示、運算性質，能夠運用平面向量的知識解決
有關解析幾何問題．
教學重點：平面向量與解析幾何知識結合構成的問題．
教學難點：平面向量的工具性．
教學用具：三角板
教學設計：
一、知識要點
2. 平面向量與解析幾何知識結合構成的問題
注：平面向量與解析幾何知識的結合點是平面向量及其運算的座標表示，用向量能比較簡潔
精練地描述解析幾何問題中的一些條件，因此而成為命題方式的理想選擇之一.
二、典型例示
例1（1）平面直角座標座標系中，為座標原點，已知兩點，，若點
滿足，其中、，且，則點的軌跡方程為（ ）
a. b. c. d.
（2）設、為曲線：的焦點，是曲線：與曲線
的乙個交點，則的值是（ ）
abcd.
注：首先用座標表示平面向量，再將向量條件座標化，然後去化簡整理或尋找解題的方法，
這是基本的操作程式.
例2 如圖，四邊形是⊙內接梯形，圓心在座標原點，
在軸上，向量與的夾角為，，
（1）求⊙的方程；（2）求以、為焦點且過點、的橢圓方程.
注：用向量能比較簡潔精練地描述解析幾何問題中的一些條件，而向量的座標表示則是向
量與解析幾何聯絡的紐帶.
例3 已知兩點，，且點使，，成公
差小於零的等差數列，（1）求點的軌跡方程，並說明軌跡是什麼曲線？（2）若點的座標
為，記為，的夾角，求.
注：用向量的座標運算來尋找動點座標間的規律，這是解題的關鍵.
例4 已知拋物線的焦點為，、是拋物線上的兩動點，且，
過、兩點分別作拋物線的切線，設其交點為，（1）求證：為定值；（2）設
的面積為，寫出的表示式，並求的最小值．
注：利用向量的長度和夾角，可以表示有關幾何量，這為平面向量與解析幾何知識的結合
奠定了基礎.
三、課堂練習
1. 已知三點，，，點是線段上的乙個動點，若且
，則實數的取值範圍是（ ）
a． b． c． d．
2. 直角座標平面中，若定點與動點滿足，則點p的軌跡方
程是3. 已知，、兩點分別在軸上和軸上運動，並且，，
（1）求動點的軌跡方程，並說明曲線的形狀；（2）若過點的直線與動點的軌跡交於
、兩點，，其中，求直線的方程．
四、課堂小結
平面向量與解析幾何知識的結合點是平面向量及其運算的座標表示，利用向量的長度和夾
角，可以表示有關幾何量，這為平面向量與解析幾何知識的結合奠定了基礎；用向量能比較簡
潔精練地描述解析幾何問題中的一些條件，因此而成為命題方式的理想選擇之一.
五、課外作業
1．已知兩點，，動點滿足，則
動點的軌跡方程是（ ）
a． bcd．
2．設過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交於、兩點，點與關
於軸對稱，為座標原點，若且，則點的軌跡方程是（ ）
a． b．
cd．3. 已知，，及，試問：
（1）當為何值時，點在軸上？點在軸上？點在第三象限？
（2）四邊形是否能成為平行四邊形？若能，請求出的值；若不能，請說明理由.
4. 已知兩點，，動點滿足，求動點的軌跡方程．
5. 已知兩點，，動點滿足，（1）求動點的
軌跡方程；（2）求的取值範圍；（3）若，求在上的取值範圍．
6．已知兩點，，動點滿足，（1）求動點的
軌跡方程；（2）設（1）中所求軌跡與直線交於、兩點，且（為
原點），求的值．
7．已知的面積為，且， 以為原點，直線為軸（在右側）
建立直角座標系，（1）若，，求向量所在的直線方程；（2）設，
，若以為中心，為焦點的橢圓過點，求當取得最小值時橢圓的
方程．8．已知拋物線：，為座標原點，動直線：與拋物線交於、
兩點，（1）求證：為常數；（2）求滿足的點的軌跡方程．
9．已知的面積為，且，（1）若時，向量與
的夾角，求的取值範圍；（2）設，，若以為中心，為焦點的雙曲線過點，當取得最小值時，求此雙曲線的方程.
2019高考數學第一輪複習平面向量運算
第1講平面向量的概念及線性運算 2014年高考會這樣考 1 考查平面向量的線性運算 2 考查平面向量的幾何意義及其共線條件 複習指導 本講的複習，一是要重視基礎知識，對平面向量的基本概念，加減運算等要熟練掌握，二是要掌握好向量的線性運算，搞清這些運算法則和實數的運算法則的區別 基礎梳理 1 向量的有...
高考數學第一輪複習單元試卷8 平面向量
第八單元平面向量 一.選擇題.1 若，且，則向量與的夾角為 a 30b 60c 120d 150 2 p是 abc所在平面上一點，若，則p是 abc的 a 外心 b 內心 c 重心 d 垂心 3 已知平行四邊形abcd中,3,7 2,3 對角線ac,bd交於點o,則的座標為 a 5b 5c 5d 5...
高三物理第一輪複習
時間60分鐘，滿分100分 1 8分 1 機械波和電磁波都能傳遞能量，其中電磁波的能量隨波的頻率的增大而 波的傳播及其速度與介質有一定的關係，在真空中機械波是 傳播的，電磁波是 傳播的 填 能 不能 或 不確定 在從空氣進入水的過程中，機械波的傳播速度將 電磁波的傳播速度將填 增大 減小 或 不變 ...