2023年高2015屆成都高新區學月統一檢測
數學（理）
（考試時間：9月4日下午2：00—4：00 總分：150分）
第ⅰ卷（選擇題，共 50 分）
一．選擇題：本大題共10小題，每小題5分，滿分50分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1. 已知是虛數單位，若與互為共軛複數，則
（a） (bcd)
2. 設集合則
(a) [1,3b) (1,3c) [0,2d) (1,4)
3. 在的展開式中，含項的係數為
(a)28b)56c)70d)8
4. 設是公比為的等比數列，則「為遞增數列」是「」的
(a)充分而不必要條件b)必要而不充分條件
(c)充分必要條件d)既不充分也不必要條件
5. 將函式的圖象向左平移個單位長度，所得圖象對應的函式
(a) 在區間上單調遞減 (b) 在區間上單調遞增
(c) 在區間上單調遞減 (d) 在區間上單調遞增
6. 執行如圖所示的程式框圖，若輸入的的值為1，則輸出的的值為
(a)5b)3c)2d)1
7. 某幾何體三檢視如圖所示，則該幾何體的體積為
(a) (bcd)
8.已知，若是的最小值，則的取值範圍為
(a)[-1,2b)[-1，0c)[1，2d)
9. 為了研究某藥物的療效，選取若干名志願者進行臨床試驗，所有志願者的舒張壓資料（單位：）的分組區間為[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，……，第五組，右圖是根據試驗資料製成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數為
（abcd）
10. 當時，不等式恆成立，則實數的取值範圍是
(abc) (d)
2023年高2015屆成都高新區學月統一檢測
數學（理）
（考試時間：9月4日下午2：00—4：00 總分：150分）
第ⅱ卷（非選擇題，共 100分）
二．填空題：（本大題共5小題，每小題5分，共25分，把答案填在題中橫線上）
11.某中學為了解高三學生對參加某項社會實踐活動的意向，擬採用分層抽樣的方法，從高三的四個班的學生中抽取乙個容量為100的樣本進行調查.已知
一、二、三、四班的學生人數之比為4：5：5：6，則應從一班學生中抽取名學生.
12.在等差數列中，,則的前5項和
13.在中，,則的面積等於
14.要從7個班中選10人參加演講比賽，每班至少1人，共有種不同的選法.
15.下圖展示了乙個由區間到實數集的對映過程：區間中的實數對應數上的點，如圖1；將線段圍成乙個圓，使兩端點恰好重合，如圖2；再將這個圓放在平面直角座標系中，使其圓心在軸上，點的座標為，如圖3.
圖3中直線與軸交於點，則的象就是，記作.
下列說法中正確命題的序號是填出所有正確命題的序號)
①方程的解是
③是奇函式在定義域上單調遞增；
⑤的圖象關於點對稱．
三．解答題：本大題共6小題，共75分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
16.（本題滿分12分）已知函式，.
（ⅰ）求的最小正週期； （ⅱ）求在閉區間上的最大值和最小值.
17．（本題滿分12分）某中學社團部志願者協會共有6名男同學，4名女同學. 在這10名同學中，3名同學來自動漫社，其餘7名同學來自攝影社、話劇社等其他互不相同的七個社團. 現從這10名同學中隨機選取3名同學，到社群參加志願活動（每位同學被選到的可能性相同）.
（ⅰ）求選出的3名同學是來自互不相同社團的概率；
（ⅱ）設為選出的3名同學中女同學的人數，求隨機變數的分布列和數學期望.
18．（本題滿分12分）
已知為定義在上的奇函式，當時，函式解析式為.
（ⅰ）求的值，並求出在上的解析式；
（ⅱ）求在上的最值．
19.（本小題滿分12分）
如圖，在四稜錐中，底面，，，，，點為稜的中點.
（ⅰ）證明：；
（ⅱ）若為稜上一點，滿足，
求二面角的余弦值.
20．（本小題滿分13分）
已知等差數列的公差為，前項和為，且，，成等比數列。
（ⅰ）求數列的通項公式；
（ⅱ）令=求數列的前項和。
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21.（本小題滿分14分）
已知函式（為常數）的圖象與軸交於點，曲線在點處的切線斜率為.
（ⅰ）求的值及函式的極值；
（ⅱ）證明：當時，；
（ⅲ）證明：對任意給定的正數，總存在，使得當，恒有.
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2023年高2015屆成都高新區學月統一檢測
數學（理）標準答案與評分細則
一、選擇題：1-5：daada 6-10 bbdcb
部分解答：
7. 解析：選b。由三檢視知：幾何體是正方體切去兩個圓柱，
正方體的稜長為2，切去的圓柱的底面半徑為1，高為2，
∴幾何體的體積v=23﹣2××π×12×2=8﹣π．
8.解析：選d。
解法一：排除法。
當a=0時，結論成立，排除c；
當a=-1時，f(0)不是最小值，排除a、b，選d。
解法二：直接法。
由於當時，在時取得最小值為，由題意當時，遞減，則，此時最小值為，所以，選d。
10. 解析：選b。
當x=0時，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0對任意a∈r恆成立；
當0＜x≤1時，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≥，
令f（x）=，則f′（x）==﹣（*），
當0＜x≤1時，f′（x）＞0，f（x）在（0，1]上單調遞增，
f（x）max=f（1）=﹣6，∴a≥﹣6；
當﹣2≤x＜0時，ax3﹣x2+4x+3≥0可化為a≤，
由（*）式可知，當﹣2≤x＜﹣1時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
f（x）min=f（﹣1）=﹣2，∴a≤﹣2；
綜上所述，實數a的取值範圍是﹣6≤a≤﹣2，即實數a的取值範圍是[﹣6，﹣2]．
二、填空題：11. 20 12. 15 13. 14.24 15.①④⑤
部分解答：
14.解析：84 。共分三類：
第一類：乙個班出4人，其餘6個班各出1人，有c種；
第二類：有2個班分別出2人，3人，其餘5個班各出1人，有a種；
第三類：有3個班各出2人，其餘4個班各出1人，有c種，
故共有c＋a＋c＝84(種)．
15. 解析：
①則，正確；
②當時，∠acm=,此時故，不對；
③的定義域為不關於原點對稱，是非奇非偶函式；
④顯然隨著的增大,也增大;所以在定義域上單調遞增 ，正確；
5 又整個過程是對稱的,所以正確。
三、解答題：
16.解：（ⅰ）由已知，有
2分4分
所以，的最小正週期6分
（ⅱ）因為在區間上是減函式，在區間上是增函式. ...8分
根據影象的對稱性知其最小與最大值分別為：，.
所以，函式在閉區間上的最大值為，最小值為12分
17．解：（ⅰ）設「選出的3名同學來自互不相同的社團」為事件，則
. 所以，選出的3名同學來自互不相同社團的概率為6分
（ⅱ）隨機變數的所有可能值為0，1，2，3
所以，隨機變數的分布列是
10分隨機變數的數學期望12分
18.解：(ⅰ)∵f(x)為定義在[－1,1]上的奇函式，且f(x)在x＝0處有意義，
∴f(0)＝0，即f(0)＝＝1－＝0.
∴＝13分
設x∈[0,1]，則－x∈[－1,0]．
∴f(－x)＝－＝4x－2x.
又∵f(－x)＝－f(x)
∴－f(x)＝4x－2x.
∴f(x)＝2x－4x.
所以，在[上的解析式為f(x)＝2x－4x6分
(ⅱ)當x∈[0,1]，f(x)＝2x－4x＝2x－(2x)2，
∴設t＝2x(t>0)，則f(t)＝t－t2.
∵x∈[0,1]，∴t∈[1,2]．
當t＝1時，取最大值，最大值為1－1＝0.
當t=0時，取最小值為-2.
所以，函式在[0,1]上的最大與最小值分別為0，-212分
19.解:
解法一：座標法。
依題意，以點為原點建立空間直角座標系（如圖2分
可得，，，.由為稜的中點，得.
（ⅰ）向量，，故. 所以5分
（ⅱ）向量，，，.[**:z,xx,
由點在稜上，設，.
故.由，得，
因此，，解得7分
即.設為平面的法向量，則即
不妨令，可得為平面的乙個法向量9分
取平面的法向量，則
.易知，二面角是銳角，所以其餘弦值為12分
解法二：幾何法。
（ⅰ）如圖，取中點，連線，.
由於分別為的中點， 故，且，又由已知，可得且，故四邊形為平行四邊形，所以.
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