1、根據下列線性規劃的原問題寫出其對偶模型。（每小題5分，共10分）
（1）max z = 2 x1 + 3 x2 -5 x3 + x4
4 x1 + x2 - 3 x3 + 2 x4 ≥ 5
3 x1 - 2 x27 x4 ≤ 4
2x1 + 3 x2 + 4 x3 + x4 = 6
x1≤ 0 ，x2， x3≥ 0 ，x4無符號限制
（2）min z = -2 x1 - 3 x2 -5 x3 + x4
4 x1 + x2 - 3 x3 + 2 x4 ≥ 7
3 x1 - 2 x27 x4 ≤ 6
2 x1 + 3 x2 + 4 x3 + x4 = 9
x1≤ 0 ，x2≥ 0 ，x3,x4無符號限制
2、某療養院營養師要為某類病人擬訂本週選單。可供選擇的蔬菜及其費用和所含影響成分的數量，以及這類病人每週所需各種養分的最低數量如下表所示：
另外為了口味的需求,規定一周內所用捲心菜不多於2份,其它蔬菜不多於4份。若病人每週需14份蔬菜。問選用每種蔬菜各多少份？
試著建立該問題的線性規劃模型。（不用求解，10分）
3、某廠生產甲、乙、丙三種產品，已知有關資料與下表所示，試分別回答下列問題：
產品消耗定額甲乙丙原料擁有量
原料 a63545
b34530
單件利潤415
⑴ 建立線性規劃模型，求使該廠獲利最大的生產計畫。(8分)
⑵ 若產品乙、丙的單件利潤不變，則產品甲的利潤在什麼範圍內變化時，上述最優解不變？(5分)
⑶ 若有一種新產品丁，其原料消耗定額：a為3單位，b為2單位，單件利潤為2.5單位。問該種產品是否值得安排生產，並求新的最優計畫。(7分)
4、有a1，a2，a3三座鐵礦，每天要把生產的鐵礦石運往b1，b2，b3，b4四個煉鐵廠。各礦的產量，各廠的銷量（百噸/天）以及各廠礦間的運價（百元/百噸）如下表所示:
（1）試用伏格爾法和最小元素法給出該運輸問題的初始調運方案，並求出該初始調運方案對應的總運費。（6分）
（2）用位勢法判斷（1）中用伏格爾法所求出的初始調運方案是否最優方案。（4分）
5、用**法求解下列目標規劃（10分）
minz = p1d1— + p2 d2＋ + p3（2d3－+ d4—）
x1 + x2 + d1—— d140
x1 + x2 + d2—— d250
x1d3— — d3+ = 24
x2 + d4— — d4+ = 30
x1 ，x2 ，d1—，d1+，d2—， d2+，d3—，d3+，d4—，d4+，≥0
6、某廠有100臺工具機，能夠加工兩種零件，要安排下面4個月的任務，根據以往經驗，知道這些工具機用來加工第一種零件，乙個月以後損壞率為1／3。而在加工第二種零件時，乙個月後損壞率為1／10，又知道，工具機加工第一種零件時乙個月的收益為10萬美元，加工第二種零件時每個月的收益為7萬美元。現在要安排四個月的任務，試問，怎樣分配機器的任務，能使總收益為最大（10分）？
7、某地7個村鎮之間現有交通距離如下圖所示
求：1)從1到7的最短路徑與距離？（5分）
2)如要沿路架設**線，如何使總長度最小同時又使每個村都能安裝上**？（5分）
8、某市六個新建單位之間的交通線路的長度（公里）如下表所示。其中單位a距市煤氣**站最近，為1.5公里。
為使這六個單位都能使用煤氣，現擬沿交通線鋪設地下管道，並且經a與煤氣**網連通。應如何鋪設煤氣管道，使其總長最短？(10分)
1、解：（1） minω = 5 y1 +4 y2+ 6 y3
4 y1 + 3 y2 -2y3 ≤ 2
y1 - 2y2 + 3y3 ≥ 3
3y1 + 4 y3 ≥ -5
2 y1 + 7 y2 + y3 = 1
y1 ≤0 ，y2≥0，y3無符號限制
（2）maxω = 7 y1 +6 y2+ 9 y3
4 y1 + 3 y2 -2y3 ≥ -2
y1 - 2y2 + 3y3 ≤ -3
3y1 + 4 y3 = -5
2 y1 + 7 y2 + y3 = 1
y1 ≥0 ，y2≤0，y3無符號限制
2、解：設每週選擇的蔬菜份數中青豆、胡蘿蔔、花菜、捲心菜、甜菜和土豆分別為x1，x2 ， x3 ， x4 ，x5和x6份。
minz = 0.15 x1 + 0.15 x2 + 0.24 x3 + 0.06 x4 + 0.18 x5+ 0.10 x5
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ＝ 14
0.45 x1 + 0.45 x2 + 1.05 x3 + 0.4 x4 + 0.5 x5 + 0.5 x6 ≥ 6.0
10 x1 + 28x2 +50 x3 + 25x4 + 22 x5 + 75 x6 ≥325
415 x1 + 9065 x2 +2550 x3 + 75 x4 + 15 x5 + 235 x6 ≥ 17500
8 x1 + 3 x2 + 53x3 + 27 x4 + 5 x5 + 8 x6 ≥ 245
0.3 x1 + 0.35 x2 +0.6 x3 + 0.15 x4 + 0.25 x5 + 0.8 x6 ≥ 5.0
0≤ x4 ≤ 2
0 ≤ x1 ,x2 ,x3 ,x5 ,x6 ≤ 4
3、解：
（1）以x1、x2和x3分別代表甲、乙、丙產品產量，有x﹡＝（5，0，3），最大贏利z﹡＝35。
（2）產品甲的利潤變化範圍為[3,6]。
（3）安排生產丁有利，新的最優計畫為安排生產產品丁15件，而x1、x2和x3均為0。
4、解：
（1）用伏格爾法給出的初始調運方案為x12 =2， x13=1， x14 =2，x24=2，x31 =2，x32 =1，其餘的xij=0。（其中i=1,2,3; j=1,2,3,4）對應的z=34。
用最小元素法給出的初始調運方案為x11 =2， x13=1， x14 =2，x24=2，x31 =0，x32 =3，其餘的xij=0。（其中i=1,2,3; j=1,2,3,4）對應的z=38。
（2）用位勢法判斷，（1）中用伏格爾法給出的初始調運方案是最優方案。
5、解：滿意解為x*=（24，26）t
6、解：
階段:。
狀態變數：表示第月開始時有臺工具機可供使用。
決策變數：表示第月分配給第一種零件的工具機數。
狀態轉移方程：
指標函式：
基本方程：
最大收益為：（萬美元）。
此時，7、解：1) 從1到7的最短路徑為，長度=43
2) 最小樹為:
總長度=70
8、解：應按如下方式鋪設管道，可使其總長最短，最短長度為11.4公里。
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