第四章經典單方程計量經濟學模型：放寬基本假定的模型
一、內容提要
本章主要介紹計量經濟模型的二級檢驗問題，即計量經濟檢驗。主要討論對回歸模型的若干基本經典假定是否成立進行檢驗、當檢驗發現不成立時繼續採用ols估計模型所帶來的不良後果以及如何修正等問題。包括：
異方差性問題、序列相關性問題、多重共線性問題。
1.異方差：
含義：隨機擾動項的方差隨樣本點而不同。
後果：ols估計是線性、無偏、一致的但不有效；由於隨機項異方差的存在而導致的引數估計值的標準差的偏誤，通常的假設檢驗t檢驗和f檢驗失效；模型的**變得無效。
檢驗：圖示法、goldfeld-quandt檢驗法以及white檢驗法等。
修正：而當檢測出模型確實存在異方差性時，通過採用加權最小二乘法進行修正的估計。
序列相關性也是模型隨機擾動項出現序列相關時產生的一類現象。與異方差的情形相類似，在序列相關存在的情況下，ols估計量仍具無偏性與一致性，但通常的假設檢驗不再可靠，**也變得無效。序列相關性的檢測方法也有若干種，如圖示法、回歸檢驗法、durbin-watson檢驗法以及lagrange 乘子檢驗法等。
存在序列相關性時，修正的估計方法有廣義最小二乘法（gls）以及廣義差分法。
多重共線性是多元回歸模型可能存在的一類現象，分為完全共線與近似共線兩類。模型的多個解釋變數間出現完全共線性時，模型的引數無法估計。更多的情況則是近似共線性，這時，由於並不違背所有的基本假定，模型引數的估計仍是無偏、一致且有效的，但估計的引數的標準差往往較大，從而使得t-統計值減小，引數的顯著性下降，導致某些本應存在於模型中的變數被排除，甚至出現引數正負號方面的一些混亂。
顯然，近似多重共線性使得模型偏回歸係數的特徵不再明顯，從而很難對單個係數的經濟含義進行解釋。多重共線性的檢驗包括檢驗多重共線性是否存在以及估計多重共線性的範圍兩層遞進的檢驗。而解決多重共線性的辦法通常有逐步回歸法、差分法以及使用額外資訊、增大樣本容量等方法。
當模型中的解釋變數是隨機解釋變數時，需要區分三種型別：隨機解釋變數與隨機擾動項獨立，隨機解釋變數與隨機擾動項同期無關、但異期相關，隨機解釋變數與隨機擾動項同期相關。第一種型別不會對ols估計帶來任何問題。
第二種型別則往往導致模型估計的有偏性，但隨著樣本容量的增大，偏誤會逐漸減小，因而具有一致性。所以，擴大樣本容量是克服偏誤的有效途徑。第三種型別的ols估計則既是有偏、也是非一致的，需要採用工具變數法來加以克服。
二、典型例題分析
1、下列哪種情況是異方差性造成的結果？
（1）ols估計量是有偏的
（2）通常的t檢驗不再服從t分布。
（3）ols估計量不再具有最佳線性無偏性。
答： 第（2）與（3）種情況可能由於異方差性造成。異方差性並不會引起ols估計量出現偏誤。
2、已知模型
式中，為某公司在第i個地區的銷售額；為該地區的總收入；為該公司在該地區投入的廣告費用（i=0,1,2……,50）。
（1）由於不同地區人口規模可能影響著該公司在該地區的銷售，因此有理由懷疑隨機誤差項ui是異方差的。假設依賴於總體的容量，請逐步描述你如何對此進行檢驗。需說明：
1）零假設和備擇假設；2）要進行的回歸；3）要計算的檢驗統計值及它的分布（包括自由度）；4）接受或拒絕零假設的標準。
（2）假設。逐步描述如何求得blue並給出理論依據。
答：（1）如果依賴於總體的容量，則隨機擾動項的方差依賴於。因此，要進行的回歸的一種形式為。於是，要檢驗的零假設h0：，備擇假設h1：。檢驗步驟如下：
第一步：使用ols方法估計模型，並儲存殘差平方項；
第二步：做對常數項c和的回歸
第三步：考察估計的引數的t統計量，它在零假設下服從自由度為2的t分布。
第四步：給定顯著性水平面0.05（或其他），查相應的自由度為2的t分布的臨界值，如果估計的引數的t統計值大於該臨界值，則拒絕同方差的零假設。
（2）假設時，模型除以有：
由於，所以在該變換模型中可以使用ols方法，得出blue估計值。方法是對關於、、做回歸，不包括常數項。
3、以某地區22年的年度資料估計了如下工業就業回歸方程
（-0.56）(2.31.7) (5.8)
式中，y為總就業量；x1為總收入；x2為平均月工資率；x3為地方**的總支出。
（1）試證明：一階自相關的dw檢驗是無定論的。
（2）逐步描述如何使用lm檢驗
答：（1）由於樣本容量n=22，解釋變數個數為k=3，在5%在顯著性水平下，相應的上下臨界值為、。由於dw=1.147位於這兩個值之間，所以dw檢驗是無定論的。
（2）進行lm檢驗：
第一步，做y關於常數項、lnx1、lnx2和lnx3的回歸並儲存殘差；
第二步，做關於常數項、lnx1、lnx2和lnx3和的回歸並計算；
第三步，計算檢驗統計值(n-1) =210.996=20.916；
第四步，由於在不存在一階序列相關的零假設下(n-1)呈自由度為1的分布。在5%的顯著性水平下，該分布的相應臨界值為3.841。
由於20.916>3.841，因此拒絕零假設，意味著原模型隨機擾動項存在一階序列相關。
4、某地區供水部門利用最近15年的用水年度資料得出如下估計模型：
（-1.7） (0.91.4) (-0.6) (-1.2) (-0.8)
f=38.9
式中，water——用水總量（百萬立方公尺）,house——住戶總數（千戶）,pop——總人口（千人）,pcy——人均收入（元）,price——**（元/100立方公尺）,rain——降雨量（公釐）。
（1）根據經濟理論和直覺,請計回歸係數的符號是什麼(不包括常量)，為什麼？觀察符號與你的直覺相符嗎？
（2）在10%的顯著性水平下，請進行變數的t-檢驗與方程的f-檢驗。t檢驗與f檢驗結果有相矛盾的現象嗎？
（3）你認為估計值是（1）有偏的；（2）無效的或（3）不一致的嗎？詳細闡述理由。
答：（1）在其他變數不變的情況下，一城市的人口越多或房屋數量越多，則對用水的需求越高。所以可期望house和pop的符號為正；收入較高的個人可能用水較多，因此pcy的預期符號為正，但它可能是不顯著的。
如果水價**，則使用者會節約用水，所以可預期price的係數為負。顯然如果降雨量較大，則草地和其他花園或耕地的用水需求就會下降，所以可以期望rain的係數符號為負。從估計的模型看，除了pcy之外，所有符號都與預期相符。
（2）t-統計量檢驗單個變數的顯著性，f-統計值檢驗變數是否是聯合顯著的。
這裡t-檢驗的自由度為15-5-1=9，在10%的顯著性水平下的臨界值為1.833。可見，所有引數估計值的t值的絕對值都小於該值，所以即使在10%的水平下這些變數也不是顯著的。
這裡，f-統計值的分子自由度為5，分母自由度為9。10%顯著性水平下f分布的臨界值為2.61。可見計算的f值大於該臨界值，表明回歸係數是聯合顯著的。
t檢驗與f檢驗結果的矛盾可能是由於多重共線性造成的。house、pop、pcy都是高度相關的，這將使它們的t-值降低且表現為不顯著。price和rain不顯著另有原因。
根據經驗，如果乙個變數的值在樣本期間沒有很大的變化，則它對被解釋變數的影響就不能夠很好地被度量。可以預期水價與年降雨量在各年中一般沒有太大的變化，所以它們的影響很難度量。
（3）多重共線性往往表現的是解釋變數間的樣本觀察現象，在不存在完全共線性的情況下，近似共線並不意味著基本假定的任何改變，所以ols估計量的無偏性、一致性和有效性仍然成立，即仍是blue估計量。但共線性往往導致引數估計值的方差大於不存在多重共線性的情況。
三、教材中部分習題
4-1．解釋下列概念：
（1）異方差性
（2）序列相關性
（3）多重共線性
（4）偏回歸係數
（5）完全多重共線性
（6）不完全多重共線性
（7）差分法
（8）廣義最小二乘法
（9）檢驗
(4-1．答：
異方差性指對於不同的樣本值，隨機擾動項的方差不再是常數，而是互不相同的。
序列相關性指對於不同的樣本值，隨機擾動項之間不再是完全相互獨立，而是存在某種相關性。
（3）多重共線性指兩個或多個解釋變數之間不再彼此獨立，而是出現了相關性。
偏回歸係數指：在三變數線性回歸模型中，當其中乙個解釋變數為常量時，另乙個解釋變數對被解釋變數均值的影響。
完全多重共線性指：在有多個解釋變數模型中，其中乙個變數可以表示為其他多個變數的完全線性函式，即，其中至少有乙個，與等式右邊線性組合的相關係數為1，則這種情況被稱為完全多重共線性。在此情況下，不能估計解釋變數各自對被解釋變數的影響。
不完全多重共線性指：在實際經濟活動中，多個解釋變數之間存在多重共線性問題，但與等式右邊線性組合的相關係數不為1。
差分法是一類克服序列相關性的有效方法。它是將原計量經濟模型變換為差分模型，分為一階差分法和廣義差分法。
廣義最小二乘法（gls）即最具有普遍意義的最小二乘法。
檢驗：全稱杜賓—瓦森檢驗，適用於一階自相關的檢驗。該法構造乙個統計量：
，計算該統計量的值，根據樣本容量和解釋變數數目查分布表，得到臨界值和，然後按照判斷準則考察計算得到的值，以判斷模型的自相關狀態。)
4-2．判斷下列各題對錯，並簡單說明理由：
1) 在存在異方差情況下，普通最小二乘法（ols）估計量是有偏的和無效的；
2) 如果存在異方差，通常使用的t檢驗和f檢驗是無效的；
3) 在存在異方差情況下，常用的ols法總是高估了估計量的標準差；
4) 如果從ols回歸中估計的殘差呈現系統模式，則意味著資料中存在著異方差；
5) 當存在序列相關時，ols估計量是有偏的並且也是無效的；
6) 消除序列相關的一階差分變換假定自相關係數必須等於1；
7) 回歸模型中誤差項存在異方差時，ols估計不再是有效的；
8) 回歸模型中誤差項存在序列相關時，ols估計不再是無偏的；
第四章經典單方程計量經濟學模型 放寬基本假定的模型
四 習題解答 4 1 答 異方差性指對於不同的樣本值，隨機擾動項的方差不再是常數，而是互不相同的。序列相關性指對於不同的樣本值，隨機擾動項之間不再是完全相互獨立，而是存在某種相關性。3 多重共線性指兩個或多個解釋變數之間不再彼此獨立，而是出現了相關性。偏回歸係數指 在三變數線性回歸模型中，當其中乙個...
計量經濟學
第七套一 單項選擇題 1 用模型描述現實經濟系統的原則是 b a.以理論分析作先導，包括的解釋變數越多越好 b.以理論分析作先導，模型規模大小要適度 c.模型規模越大越好 這樣更切合實際情況 d.模型規模大小要適度，結構盡可能複雜 2 arch檢驗方法主要用於檢驗 a a 異方差性 b.自相關性 d...
計量經濟學總結
計量經濟學 是經濟的乙個分支學科，是以揭示經濟活動中客觀存在的數量關係為內容的分支學科。是經濟理論 統計學和數學三者的結合 計量經濟學的研究步驟 1.確定變數和數學關係式 模型設定 2.分析變數間具體的數量關係 估計引數 3.檢驗所得結論的可靠性 模型檢驗 4.做經濟分析和經濟 模型應用 設立乙個良...