復合函式
一， 復合函式的定義：設y是u的函式，即y=f(u),u是x的函式，即u=g(x)，且g(x)的值域與f(u)的定義域的交集非空，那麼y通過u的聯絡成為x的函式，這個函式稱為由y=f(u)，u=g(x)復合而成的復合函式，記作y=f[g(x)],其中u稱為中間變數。
二， 對高中復合函式的通解法——綜合分析法
1、 解復合函式題的關鍵之一是寫出復合過程
例1：指出下列函式的復合過程。
（1）y=√2-x2 (2)y=sin3x (3)y=sin3x (4)y=3cos√1-x2
解：(１) y=√2-x2是由y=√u,u=2-x2復合而成的。
（2）y=sin3x是由y=sinu,u=3x復合而成的。
（3）∵y=sin3x=(sinx)-3
∴y=sin3x是由y=u-3,u=sinx復合而成的。
（4）y=3cos√1+x2是由y=3cosu,u=√r,r=1+x2復合而成的。
2、解復合函式題的關鍵之二是正確理解復合函式的定義。
看下例題：例２：已知f(x+3)的定義域為[1、2],求f(2x-5) 的定義域。
經典誤解１：解：f(x+3)是由y=f(u),u=g(x)=x+3復合而成的。
f(2x-5)是由y=f(u2),u2=g(x)=2x-5復合而成的。
由g(x),g(x)得：u2=2x-11
即：y=f(u2),u2=2x-11
f(u1)的定義域為[1、2]
x﹤29≤2x-11﹤-6
即：y=f(u2)的定義域為[-9、-6]
f(2x-5)的定義域為[-9、-6]
經典誤解２：解：∵f(x+3)的定義域為[1、2]
1≤x+3﹤2
2≤x﹤-1
4≤2x﹤-2
9≤2x-5﹤-7
f(2x-5)的定義域為[-9、-7]
下轉2頁）
注：通過以上兩例誤解可得，解高中復合函式題會出錯主要原因是對復合函式的概念的理解模稜兩可，從定義域中找出「y」通過u的聯絡成為x的函式，這個函式稱為由y=f(u),u=g(x)復合而成的復合函式，記作y=f[g(x)],其中u稱為「中間變數」。從以上誤解中找出解題者易將f(x+3)的定義域理解成（x+3）的取值範圍，從而導致錯誤。
而從定義中可以看出u僅僅是中間變數，即u既不是自變數也不是因變數。復合函式的定義域是指y=f(u),u=g(x)中u=g(x)中的x的取值範圍，即：f(x+3)是由f(u),u=x+3復合而成的復合函式，其定義域是x的取值範圍。
正確解法：解:f(x+3)是由y=f(u1),u1=x1+3(1≤x﹤2)復合而成的。
f(2x-5)是由y=f(u2),u2=2x2-5復合而成的
x1﹤2
4≤u1﹤5
4≤u2﹤5
4≤2x2-5﹤5
2≤x2﹤5
f(2x-5)的定義域為[２、5]
結論：解高中復合函式題要注意復合函式的分層，即u為第一層，x為第二層，一、二兩層是不可以直接建立關係的，在解題時，一定是同層考慮，不可異層考慮，若異層考慮則會出現經典誤解１與２的情況。
三、高中復合函式的題型（不包括抽象函式）
題型一：單對單，如：已知f(x)的定義域為[-1,4],求f(x2)的定義域。
題型二：多對多，如：已知f(x+3)的定義域為[１、２],求f（2x-5）的定義域。
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題型三：單對多，如：已知f(x)的定義域為[0、1],求f(2x-1)的定義域。
題型四：多對單，如：已知f(2x-1)的定義域為[0、1],求f(x)的定義域。
注：通解法——綜合分析法的關鍵兩步：第一步：寫出復合函式的復合過程。
第二步：找出復合函式定義域所真正指代的字母（最為關鍵）
下面用綜合分析法解四個題型
題型一：單對單：例3：已知f(x)的定義域為[-1、4],求f(x2)的定義域。
第1步：寫出復合函式的復合過程：f(x2)是由y=f(u),u=x22復合而成的。
（由於要同層考慮，且u與x的取值範圍相同，故可這樣變形）f(x)是由y=f(u),u=x1復合而成的。
f(x)的定義域為[-1、4]
第2步：找出復合函式定義域的真正對應∴-1≤x1﹤4
即-1≤u﹤4
又∵u=x22
1≤x22﹤4
(x2是所求f(x2)的定義域，此點由定義可找出) ∴-2﹤x2﹤2
f(x2)的定義域為(-2,2)
結論：此題中的自變數x1,x2通過u聯絡起來，故可求解。
題型三：單對多：例4：已知f(x)的定義域為[0,1],求f(2x-1)的定義域。
第1步：寫出復合函式的復合過程：f(x)是由y=f(u),u=x1復合而成的。
f(2x-1)是由y=f(u),u=2x2-1復合而成.
第2步：找出復合函式定義域的真正對應：∵0≤x1≤1
0≤u≤1
0≤2x2-1≤1
x2≤1
f(2x-1)的定義域為[，1]
結論：由此題的解答過程可以推出：已知f(x)的定義域可求出y=[g(x)]的定義域。
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題型四：多對單：如：例5：已知f(2x-1)的定義域為[0、1],求f(x)的定義域。
第1步：寫出復合函式的復合過程：f(2x-1)是由f(u),u=2x1-1復合而成的。
f(x)是由f(u),u=x2復合而成的。
第2步：找出復合函式定義域對應的真正值：∵0≤x1≤1
0≤2x1≤2
1≤2x1-1≤1
1≤u≤1
1≤x2≤1
f(x)的定義域為[-1、1]
結論：由此題的解答過程可以推出：已知y=f[g(x)]的定義域可求出f(x)的定義域。
小結：通過觀察題型
一、題型
三、題型四的解法可以看出，解題的關鍵在於通過u這個橋梁將x1與x2聯絡起來解題。
題型二：多對多：如例6：已知f(x+3)的定義域為[1、2],求f(2x-5)的定義域。
解析：多對多的求解是比較複雜的，但由解題型三與題型四的結論：已知 f(x)的定義域可求出y=f[g(x)]的定義域」已知y=f[g(x)]的定義域可求出f(x)的定義域可以推出f(x)與y=f[g(x)]可以互求。
若y1=f(x+3),y2=f(2x-5),同理，已知y1=f(x+3)的定義域，故這裡f(x)成為了聯絡y1=f(x+3),y2=f(2x-5)的乙個橋梁，其作用與以上解題中u所充當的作用相同。所以，在多對多的題型中，可先利用開始給出的復合函式的定義域先求出f(x)，再以f(x)為跳板求出所需求的復合函式的定義域，具體步驟如下：
第一步：寫出復合函式的復合過程:f(x+3)是由y=f(u)u=x+3復合而成的。
f(2x-5)是由y2=f(u)u=2x-5復合而成的。
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