高中數學學習材料
馬鳴風蕭蕭*整理製作
第三章綜合素質檢測
時間120分鐘，滿分150分。
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．若a、b∈r，i為虛數單位，且(a＋i)i＝b＋i，則( )
a．a＝1，b＝1b．a＝－1，b＝1
c．a＝1，b＝－1 d．a＝－1，b＝－1
[答案] c
[解析] 由(a＋i)i＝b＋i，得ai－1＝b＋i，所以a＝1，b＝－1.
2．(2012·課標全國文，2)複數z＝的共軛複數是( )
a．2＋i b．2－i
c．－1＋i d．－1－i
[答案] d
[解析] 本題考查了複數的除法運算以及共軛複數的概念．
z＝＝＝＝－1＋i，故z的共軛複數為－1－i.
3．(2012～2013學年度山東沂水縣高二期中測試)若a、b∈r，i是虛數單位，且(1＋ai)i＝1－bi，則在復平面內，複數a＋bi所對應的點在( )
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限
[答案] c
[解析] ∵(2＋ai)i＝1－bi，
∴－a＋2i＝1－bi，
∴，∴，
∴複數a＋bi＝－1－2i所對應的點在第三象限．
4．設複數z＝，則複數z的虛部是( )
a. b．－1
c．－i d．1
[答案] b
[解析] z＝＝＝－i，∴複數z的虛部是－1.
5．複數＝( )
a．－－i b．－＋i
c.－i d.＋i
[答案] c
[解析] ∵i2＋i3＋i4＝－1＋(－i)＋1＝－i，
∴原式＝＝＝＝－i.
6．已知複數z滿足＝1＋2i，則＝( )
a．4＋3i b．4－3i
c．－i d．i
[答案] d
[解析] 由＝1＋2i，得z＝＝＝＝－i，∴＝i.
7．複數10的值是( )
a．－1 b．1
c．－32 d．32
[答案] a
[解析] 本題主要考查複數的基本運算，＝－i，(－i)10＝－1，故選a.
8．複數z＝(i為虛數單位)在復平面內對應的點所在象限為( )
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限
[答案] d
[解析] ∵z＝＝＝＝－i.
∴z在復平面內對應的點為 (，－)，故選d.
9．若複數z＝(a∈r)，且z是純虛數，則|a＋2i|等於( )
a. b．2
c．2 d．40
[答案] b
[解析] z＝＝＝＝，
當z為純虛數時，，得a＝6，
∴a＋2i＝6＋2i，
∴|a＋2i|＝2.
10．若z＝cosθ＋isinθ(i為虛數單位)，則使z2＝－1的θ值可能是( )
a. b.
c. d.
[答案] d
[解析] ∵z2＝cos2θ＋isin2θ＝－1，∴，
∴2θ＝2kπ＋π (k∈z)，
∴θ＝kπ＋.令k＝0知，d正確．
11．若x是純虛數，y是實數，且2x－1＋i＝y－(3－y)i，則x＋y等於( )
a．1＋i b．－1＋i
c．1－i d．－1－i
[答案] d
[解析] 設x＝it(t∈r且t≠0)，
於是2ti－1＋i＝y－(3－y)i，
∴－1＋(2t＋1)i＝y－(3－y)i，
∴，∴.
∴x＋y＝－1－i.
12．定義運算＝ad－bc，則符合條件＝4＋2i的複數z為( )
a．3－i b．1＋3i
c．3＋i d．1－3i
[答案] a
[解析] 由定義知＝zi＋z，得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分，將正確答案填在題中橫線上)
13．若複數z＝1－2i(i為虛數單位)，則z·＋z
[答案] 6－2i
[解析] 本題考查了複數的基本運算．
∵z＝1－2i，∴＝1＋2i，
∴z·＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i
＝5＋1－2i＝6－2i.
14．已知a、b∈r，且a－1＋2ai＝4＋bi，則b
[答案] 10
[解析] 由已知得，得.
15．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且為純虛數，則實數a的值為________．
[答案]
[解析] ＝＝
＝＝＋i，
∵為純虛數，∴，∴a＝.
16．已知複數z＝a＋bi(a、b∈r)且＋＝，則複數z在復平面對應的點位於第________象限．
[答案] 四
[解析] ∵a、b∈r且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
∴，解得.
∴複數z＝a＋bi＝7－10i在復平面內對應的點位於第四象限．
三、解答題(本大題共6個小題，共74分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分12分)m為何實數時，複數z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)是：
(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數？
[解析] z＝(2＋i)m2－3(i＋1)m－2(1－i)
＝2m2＋m2i－3mi－3m－2＋2i
＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.
(1)由m2－3m＋2＝0得m＝1或m＝2，
即m＝1或2時，z為實數．
(2)由m2－3m＋2≠0得m≠1且m≠2，
即m≠1且m≠2時，z為虛數．
(3)由，得m＝－，
即m＝－時，z為純虛數．
18．(本題滿分12分)已知複數z滿足z－i()＝1＋3i，求z.
[解析] 將方程兩邊化成a＋bi的形式，根據複數相等的充要條件來解．
設z＝x＋yi(x、y∈r)，則z·＝x2＋y2，
3z＝3x＋3yi
＝3x－3yi
∴x2＋y2－3y－3xi＝1＋3i，
由複數相等得，
解得，或.
∴z＝－1或z＝－1＋3i.
19．(本題滿分12分)已知複數x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈r)是複數4－20i的共軛複數，求實數x的值．
[解析] 因為複數4－20i的共軛複數為4＋20i，由題意得
x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i＝4＋20i，
根據複數相等的充要條件，得
方程①的解為x＝－3或x＝2.
方程②的解為x＝－3或x＝6.
所以實數x的值為－3.
20．(本題滿分12分)設a、b為共軛複數，且(a＋b)2－3abi＝4－6i，求a和b.
[解析] ∵a、b為共軛複數，∴設a＝x＋yi(x、y∈r)
則b＝x－yi，
由(a＋b)2－3abi＝4－6i，得
(2x)2－3(x2＋y2)i＝4－6i，
即，∴， ∴.
∴a＝1＋i，b＝1－i；a＝－1＋i，b＝－1－i；
a＝1－i，b＝1＋i；a＝－1－i，b＝－1＋i.
21．(本題滿分12分)已知z＝1＋i，
(1)求w＝z2＋3－4；
(2)如果＝1－i，求實數a、b的值．
[解析] (1)w＝(1＋i)2＋3(1－i)－4
＝2i＋3－3i－4＝－1－i.
(2)＝
＝＝(a＋2)－(a＋b)i，
∴(a＋2)－(a＋b)i＝1－i，
∴a＝－1，b＝2.
22．(本題滿分14分)設z＝log2(1＋m)＋ilog (3－m)(m∈r)．
(1)若z在復平面內對應的點在第三象限，求m的取值範圍；
(2)若z在復平面內對應的點在直線x－y－1＝0上，求m的值．
[解析] (1)由已知，得
解①得－1解②得m<2.
故不等式組的解集為{x|－1因此m的取值範圍是{x|－1(2)由已知得，點(log2(1＋m)，log (3－m))在直線x－y－1＝0上，
即log2(1＋m)－log (3－m)－1＝0，
整理得log2(1＋m)(3－m)＝1.
從而(1＋m)(3－m)＝2，
即m2－2m－1＝0，
解得m＝1±，且當m＝1±時都能使1＋m>0，且3－m>0.
故m＝1±.
1．若複數(a∈r，i為虛數單位)是純虛數，則實數a的值為( )
a．－2 b．4
c．－6 d．6
[答案] d
[解析] ＝
＝＝＋i.
由純虛數的定義，得＝0，且≠0，
解得a＝6，故選d.
2．若z1＝(x－2)＋yi與z2＝3x＋i(x、y∈r)互為共軛複數，則z1對應的點在( )
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限
[答案] c
[解析] 由已知得，∴.
∴z1＝－3－i，故選c.
3．複數(3i－1)i的共軛複數是( )
a．3－i b．3＋i
c．－3－i d．－3＋i
[答案] d
[解析] ∵z＝(3i－1)i＝－3－i，
∴＝－3＋i，故選d.
4．設複數z＝1＋i，則z2－2z等於( )
a．－3 b．3
c．－3i d．3i
[答案] a
[解析] z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i－2－2－2i＝－3.
5．當z＝時，z100＋z50＋1的值等於( )
a．1 b．－1
c．i d．－i
[答案] d
[解析] z2＝(1－2i－1)＝－i，z50＝(－i)25＝－i，z100＝(－i)2＝－1，故原式＝－i.
6．複數z＝(m∈r，i為虛數單位)在復平面上對應的點不可能位於( )
a．第一象限 b．第二象限
c．第三象限 d．第四象限
[答案] a
[解析] z＝＝＝[m－4]－2(m＋1)i，其實部為m－4，虛部為－2(m＋1)由，得，此時無解．故複數在復平面上對應的點不可能位於第一象限．
7．規定運算＝ad－bc，若＝1－2i，設i為虛數單位，則複數z
[答案] 1－i
[解析] 由已知可得＝2z＋i2＝2z－1＝1－2i，∴z＝1－i.
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