高一學生數學作業錯誤評析報告
固原一中周來賓
傳統的高中數學作業,以教材為中心，以高考為參照，由教師按習題的難度組織起來布置給學生，組成乙個基礎型、提高型、競賽型的訓練鏈，通過機械重複來加強記憶、鞏固課堂教學的知識點。學生作業的目的在於鞏固和消化所學的知識，並使知識轉化為技能技巧，發展能力。因此，正確組織好學生作業，對於培養學生的獨立工作的能力和習慣，發展學生的智力和創造才能有著重大意義。
根據高中數學作業具有高度的抽象概括性、嚴謹性、頻繁性特點，教師應重視作業的作業錯誤評析。
這樣做有利於啟發學生開動腦筋，培養學生思維能力；有利於激發學生學習數學的興趣，養成良好的學習習慣；有利於幫助學生尋求疑問及改正錯誤，逐步提高學生學習數學的自控能力；有利於培養學生的主體意識。
高一數學學生作業錯誤反映出學生的數學活動技能有諸如「 亂」、「漏」、「不到位」的顯著特徵，這是筆者通過對第一手的材料——學生的數學課堂作業批改、分析、整理得到的結論。事實上，通過結合學生的錯誤狀況展開作業錯誤的講評，可以促使學生掌握數學知識（原名、公理、數學概念、數學定理、數學公式和法則等）、掌握數學活動技能（數學式子的變換技能、解方程和不等式的技能、作圖技能、運算技能、使用計算器的技能、論證技能等），逐步使學生的數學活動技能達到「自動化」。
高一數學學生作業錯誤特徵陳述及講評
⒈「 亂」 ——學生掌握數學知識、掌握數學活動技能的實際狀況
⑴ 對三角函式初、高中定義的混淆及誤解
例1：在中，已知，求證為直角三角形。
誤證：∵，即，
∴，為直角三角形。
講評：，學生在證明三角形是直角三角形的過程中，不明確條件中的三角形形狀是待定的，而是在直角三角形中的結論。證明時將結論與題設混為一談，錯誤地從結論出發證結論，與已有的「背景」知識發生了「蒙太奇式」的剪輯誤證。
而正確的思路之一便是從題設出發想一想，關鍵是鎖定一適當的「啟動等式」，即正弦定理，將三角的正弦關係式轉化為三邊的關係式，繼而由其邊的特徵加以判斷。
證明：令，
則由已知，可得：，即。所以，為直角三角形。
甚至，有少數學生對三角函式符號的識別都非常模糊，混淆角與角的三角函式，發生了有如:這樣的嚴重錯誤。
又如：求函式的最值。
誤解：令，∵∴。
這些都說明學生對於像自變數、應變數這樣的相近概念的區別與聯絡認識不清。
⑵ 用同一類性質迴圈論證
例2討論函式的單調性，並證明你的結論：
誤證：設，則，
∵∴∵∴∴∴函式是增函式。
講評：這個證法看上去好象正確無誤，但由缺少依據，原因是不等式的乘法法則中，需有條件而不是任意的實數均有；學生在這裡實際上是在利用函式的單調性來證的單調性，陷入了「自證自」的迴圈論證。屬論證技能方面的錯亂問題。
（3）設得不夠巧妙
例3三個數成等差數列，它們的和等於18，它們的平方和等於116，求這三個數。
誤解：設這三個數為a，b，c
點撥：由題意三個數成等差數列可巧設這三個數為，其d為公差。
（4）解題無序
――過程無序
例4化簡
誤解：訂正：∵ 或4在第三象限，
∴點評：解題過程需要步步有根有據，表達時一般先定性，後定量，總體上體現出「總――分――總」的框架結構來。
又如：求。
講評：少數學生計算出,直接代入，屬正弦定理的誤記、誤用。反映出學生解題過程沒有形成章法，糾正辦法：先定性，再定量。屬數學式子的變換技能、解方程和不等式的技能的錯亂。
――結果無序
例5求函式的定義域。
誤解：要使函式有意義，則即，
∴，所以的定義域為。
反問：， 誰大？
正確答案：或等。
２．「漏」 ——學生掌握數學活動技能的實際狀況
⑴ 分類討論題容易「漏」情況
例6：在中，面積為，求b邊的長。
誤解： 60%以上的學生算出後，只得，漏掉的情況，反映出學生對一些簡單的三角方程的認知不足，屬解方程技能疏漏。
例7：作圖驗證：，多數同學遺忘兩向量共線的位置關係。屬作圖技能疏漏。
例8：判斷函式的奇、偶性。
誤解：∵∴此函式的定義域關於原點對稱，
又∴函式既不是奇函式又不是偶函式。
點評：只有在論證了，才能說明函式既不是奇函式又不是偶函式。即：
判斷函式的奇偶性，應先考慮該函式的定義域區間是否關於座標原點成中心對稱，如果定義域區間是關於座標原點不成中心對稱，則函式就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。又如：
例9：判斷函式的奇偶性。
解：∵ ∴ 定義域區間[－1,3]關於座標原點不對稱，
∴ 函式是非奇非偶函式。
若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性。
如果學生不注意函式定義域，那麼判斷函式的奇偶性得出如下錯誤結論：
∵∴ 函式是奇函式．
錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函式的定義域區間是否關於原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因。這些屬論證技能疏漏。
例10：求函式
學生誤解報告：對於求函式的問題，出現未分類討論的現象（對於a），當時經過對題的分析發現其值域是關於y軸對稱的，這樣就造成結果正確而形式錯誤的現象。（其實這位學生還忽略了的特殊情況。
）由此對數學有了進一步的認識：數學一定要嚴謹，不單單追求結果，過程同樣重要。所以應該對數學題多練習。
遇到像a、b等類似的字母引數題時，應該考慮分類討論。
點評：學生的誤解報告反映了學生認知參與中，真正獨立運算技能不強，行為參與量不足的原因就在於平時缺乏一定量的配套練習。
⑵ 一題多解題經常「漏」解
例11 已知求。
誤解:由已知可得,解得。
訂正:點評：這種疏漏屬解方程和不等式的技能欠發達。從中可以發現學生基礎知識點之間不能相互順利地聯絡：一方面方程本身就有兩解，另外等比數列的公比又可正可負；所以，不可無端捨棄一解。
（3）應用題解題中的「常漏」
函式關係式包括定義域和對應法則，所以在求函式的關係式時必須要考慮所求函式關係式的定義域，否則所求函式關係式可能是錯誤。
例12：某單位計畫建築一矩形圍牆，現有材料可築牆的總長度為100m，求矩形的面積s與矩形長x的函式關係式？
解：設矩形的長為x公尺，則寬為(50－x)公尺，由題意得：
故函式關係式為：．
如果解題到此為止，則本題的函式關係式還欠完整，缺少自變數的範圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變數取負數或不小於50的數時，s的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變數的範圍：
，即：函式關係式為： （）。
這個例子說明，在用函式方法解決實際問題時，必須要注意到函式定義域的取值範圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性。
還有，應用題的答、簡答題的結論、作圖題的結論，往往忘記寫。
（4）審題不清疏漏條件的要求
――忽略題目括號中的條件的作用
例13已知中，的面積 。（保留三位有效數字） 學生答案：2.6或3.0 , 標準答案：3.00或2.60
有相當一部分學生經常對題目的精確要求忽略，應用題設與答時也常常忽略單位。
又如：複習參考題一 a組 2、設p表示平面內的點，屬於集合的點組成什麼圖形？
誤解：半徑為3cm的圓o。
訂正：以定點o為圓心，以3cm為半徑的圓o。
――隱含條件更不易發現應用
例14 若2，3，為三邊組成乙個銳角三角形，求的範圍。
說明：學生大都不知三角形三邊關係對有限制：3-2例15已知在中，
誤解：由得：
∴訂正：
說明：兩向量夾角首要條件是保證它們共起點。
例16在內滿足的x取值範圍是
誤解：∵∴∵∴
∴點評：∵ ∴，這裡既應用絕對值的代數意義，又隱藏著的有界性的應用，學生易於疏忽遺漏條件。
3．不到位——學生掌握數學語言表達的實際狀況
數學表示式書寫不到位
――數學符號丟三落四
例17 已知菱形abcd的邊長為2，求向量的模長；
化簡：。
誤解：原式==2 ；。
正解：原式==2 ；。
剖析：學生受思維慣性的限制，對向量這一「二維」新概念僅僅同化理解到「一維」實數的運算上層面上，不是少箭頭，就是少絕對值符號。
再如：習題5.5 3 設線段的長為5cm，寫出點p分有向線段所成的比：與的意義區別不准。
其他一些細節上，
如利用和角公式化簡時：
， 角度符號容易丟失；
大資料計算時，小數點位置易錯位，如：由餘弦定理得m
∴m正確答案：4303 m，誤解原因：沒有聯絡實際進行雙檢；
遺忘括號時有發生，如：
∴；運算錯誤，如：
已知,則，是從右往左減造成的錯誤，說明計算無序。
――數學符號胡編亂造
例18根據條件，求出x的集合。
有一部分學生回答結果時，x的集合是。
點評：這是由於學生對表示集合的大括號與區間兩種符號的意義相互混淆而導致的錯誤，這又一次表明了學生中具有一種不重視自我內化相近概念的區別、聯絡的傾向。又如：
點，這些從客觀上來看似乎是學生在胡編亂造數學符號，實際上是同學們對符號與其表達的意義沒有建立起對應關係。
例19根據條件，求三角形abc的內角a。
誤解：∵∴，即。
例20求值：
錯誤自白（馬玉亭）：此題不必將角度化為弧度，實際上，可以直接在角度制下運算，且要準確運用正、余弦的誘導公式。我們學生經常將角度制與弧度制混用，這樣不夠嚴謹。
⑵ 數形結合的對應關係表達不到位
例21畫出函式的圖象。
錯誤：其一，直角座標系橫縱數軸不標；
其二，線段的端點處空心、實心忽略。相關的，還有二次函式、三角函式圖象簡圖走勢不夠平滑到位。
其三，圖象的附近不註明函式解析式及定義域。
又如:作出角的正弦線、余弦線、正切線時，許多學生沒有用帶箭頭的弧表示出角的形成過程。
總評：以上的作業問題一定程度上反映出了高一學生對數學的內容及其表達形式的生疏。顯然，學生能否流暢地解決問題，關鍵在於能否準確理解互譯各種語言。
高一數學作業
一 填空題 1 求值 2 已知點在第二象限，則角的終邊在第象限 3.函式的值域是 4.與向量垂直的單位向量為 5.求過兩點且圓心在直線上的圓的標準方程 6.在中，若，則角的大小為 7 已知，則的值等於 8.直線kx y 6 0被圓x2 y2 25截得的弦長為8，則k的值為 9.已知則的值域是 10 ...
高一數學學習計畫
第1周集合與表示方法 集合間關係和運算 第2周集合小結複習 第3周函式及函式的表示方法 第4周求函式的解析式 第5周函式的單調性 第6周函式的奇偶性 第7周一次函式與二次函的性質與影象 第8周二次函式的性質與影象 第9周函式的應用與待定係數法 第10周函式的零點與二分法 第11周函式的單調性與奇偶綜...
高一數學學法指導
同學們，也許你們對高中的生活充滿了好奇，憧憬著高中的學習生活。高一是高中的起始階段，是同學們在中學時期帶有轉折性的學習階段，就數學課的學習來說，高中與初中相比，無論在知識的深度 廣度和難度上，還是在能力的要求上，都有一次質的飛躍。但由於不了解高中數學的特點，有些同學不能很快適應高中學習，學不得法，導...