感受小學數學思想的力量
———寫給小學數學教師們
作者:張景中
小學生學的數學很初等,很簡單。儘管簡單,裡面卻蘊含了一些深刻的數學思想。
● 函式思想最重要
最重要的,首推函式的思想。比如說加法,2和3加起來等於5,這個答案「5」是唯一確定的,寫成數學式子就是2+3=5;如果把左端的3變成4,右端的5就變成6,把左端的2變成7,右端的5就變成10。右端的數被左端的數所唯一確定。
在數學裡,數量之間的確定性關係叫做函式關係。加法實際上是乙個函式,由兩個數確定乙個數,是個二元函式。如果把式子裡的第乙個數「2」固定了,右端的和就被另乙個數確定,就成了一元函式。
在中學裡學習函式概念,只講一元函式,以為多元函式複雜,不肯講。其實,小學生先熟悉的是多元函式,因為學過的大量的數量關係是多元函式的例子。矩形面積等於長乘寬,是二元函式;梯形面積等於上底加下底的和再乘高除以2,是三元函式。
所以多元函式的概念更容易理解。講函式概念,不妨一開始就講多元函式;具體研究,再從一元函式開始,這樣比只講一元函式更容易理解。
當然,不用給小學生講函式概念。但老師有了函式思想,在教學過程中注意滲透變數和函式的思想,潛移默化,對學生數學素質的發展就有好處。
比如學乘法,九九表總是要背的。三七二十一的下一句是四七二十八,如果背了上句忘了下句,可以想想21+7=28,就想起來了。這樣用理解幫助記憶,用加法幫助乘法,實質上包含了變數和函式的思想:
3變成4,對應的21就變成了28。這裡不是把3和4看成孤立的兩個數,而是看成乙個變數先後取到的兩個值。想法雖然簡單,小學生往往想不到,要靠老師指點。
挖掘九九表裡的規律,把枯燥的死記硬背變成有趣的思考,不僅是教給學生學習方法,也是在滲透變數和函式的數學思想。
做除法要試商。80除以13,商是多少?試商5餘15,不夠;試商6餘2,可以了。
這裡可以把餘數看成是試商數的函式。試商的過程,就是調整函式的自變數,使函式值滿足一定條件的過程。
小學數學裡有很多應用題,解題的思想方法常常是因題而異。可不可以引導學生探索一下,用乙個思想來解各種各樣的題目呢?試商的思想,其實有普遍意義,可以用來求解許多不同型別的問題,包括應用問題,只要問題中的條件資料和解答之間有確定性的關係。
例如,修一條長32千公尺的公路,已經修了24千公尺,已修的路程是剩下的幾倍?我們用類似試商的辦法來試解。如果是1倍,剩下的是24千公尺,總長48千公尺,比題設資料大了;如果是2倍呢,剩下的是12千公尺,總長36千公尺,仍比題設資料大;3倍呢,剩下8千公尺,總長32千公尺,正好符合要求。
我想很多老師不會這樣引導學生思考,認為這是個笨辦法。其實,這個辦法具有一般性,把試解的倍數看成自變數,把根據試解算出的總長看成試解倍數的函式,找尋使函式值符合題目要求的自變數,這個思路能解決很多問題,是「大智若愚」。
這樣思考試算,最終也會發現具體的規律, 列出通常的算式。找尋使函式值符合一定要求的自變數,也就是解方程。方程本質上是函式的逆運算。
加法看成函式,減法是解對應的方程;乘法看成函式,除法就是解對應的方程。函式思想和方程的方法,是乙個事物的兩面,都是大智慧型,貫穿數學的所有領域。
● 「數形結合」在小學是可能的
數學要研究的東西,基本上是數量關係和空間形式。當然,發展到今天,還要研究類似於數量關係的關係以及類似於空間形式的形式,甚至於一般關係的形式和一般形式的關係,等等。現在的課程標準把中小學數學分成了數與代數、空間與圖形、統計與概率等幾個模組。
如何讓這幾塊內容相互滲透、相互聯絡,是值得研究的問題。
提到數形結合,往往覺得是解析幾何的事情。其實,數和形的聯絡,幾乎處處都有。
在數學當中,幾何具有非常重要的地位。幾乎所有重要的數學概念,最初都是從幾何中來的。所以有人說,幾何是數學思想的搖籃。
幾何不僅是直觀的圖形,而且還需要推理,推理就要使用語言,所以幾何的語言很重要。我們在教學或者編寫教材的時候,往往是學數的時候就講數,到了學幾何的時候就講幾何,缺少把兩者聯絡起來的意識。
例如,有一套教材開始就讓學生玩積木,也就是認識立體圖形。立體圖形比平面圖形更貼近生活,比數更貼近生活,是更基本的東西,這是教材的優點。但是,如果在玩積木時不僅讓學生注意一塊積木是方的、圓的、尖的,還讓他們數一數某塊積木有幾個尖(頂點)、幾個稜、幾個面,就在學生頭腦中播下形與數有聯絡的種子。
在認識數的時候,要舉很多的例子,如乙個蘋果、乙隻小白兔等。我就想,在舉例的時候能不能照顧到幾何?比如學生在學習「1」的時候,就要學生用「1」來造句,書上可不可以有一些關於幾何的句子?
如「1個圓有1個圓心」、「1條線段有1個中點」、「1個正方形有1個中心」等。有的老師會說,這樣不行,學生不能理解。我想,可以畫圖幫助學生理解,學生雖然不知道這些概念準確的含義,但看看圖就有乙個直觀的、初始的印象。
孩子學語言一開始不是通過理解,而是通過模仿開始的,如果在學數的時候,能舉一些幾何上的例子,這對他將來學習幾何肯定會有幫助。同樣,在學習「2」的時候,我們可以教學生說:「一條線段有兩個端點。
」不需要讓學生知道什麼是線段,只要畫一條線段,指出兩頭是端點。到後來學幾何知識時,回頭一想,他會非常親切,因為他早已經會說了。在學「3」的時候,可以畫乙個三角形,讓學生說「三角形有3條邊、3個頂點」;學「4」的時候,可以畫乙個正方形,讓學生說「正方形有4條邊、4個頂點」;學「5」的時候,可以畫個五角星;認識「10」的時候,除了10個指頭,不妨畫乙個完全五邊形讓學生數一數有幾條線段(圖1); 學到100以內的數,就可以告訴學生正方形的角是90度,等等。
小孩子記憶力好,早點記一些東西,以後再慢慢理解。
在中國古代的私塾裡,學生入學後往往先讓他們背幾個月,甚至一年,然後才開講。當然這種教育方式不能作為模式,但是也並非沒有可取之處。學生已經會背了,再講的時候,他印象就非常深刻了。
我們講建構主義,先要有資訊進去能建構,乙個人閉目塞聽,不和外界接觸,是很難建構出東西來的。
總之,幾何語言的早期滲透可不可能,值得研究。
形與數的結合,還提供了更多的數學之美的欣賞機會。關於數學的美,美國數學教育家克萊因有過這樣的描述:「**能激發或撫慰情懷,繪畫使人賞心悅目,詩歌能動人心弦,哲學使人獲得智慧型,科技可以改善物質生活,但數學卻能提供以上一切。
」怎樣才能讓學生逐步體會到數學的美呢?在小學階段,可以先從幾何圖形上感知數學之美。現代資訊科技提供了前所未有的可能。
舉個例子,這裡有一些美麗的圖案(圖2)你能想到,這些圖案竟是同一種曲線的不同形態嗎?
你能想到,這些圖案竟是同一種曲線的不同形態嗎?
這條曲線其實很簡單,如圖3,用「超級畫板」 軟體畫乙個圓,圓上取3點a、b、c,在弦ab上取點g,再**段cg上取點h,利用軟體的軌跡作圖功能,作出3點a、b、c在圓周上運動時點h的軌跡,並把3點運動速度的比值分別設定為k、m、n的整數部分,做出這3個引數的變數尺。只要調整3個引數和點g、h的位置,就能創造出成百上千種不同的圖案。這樣幾分鐘就能做出來的課件,讓孩子們玩上幾個星期都不會失去興趣。
在潛移默化之中,數學之美會滲入幼小的心靈。
一位教師讓她9歲半的孩子玩這類超級畫板課件,孩子很快被超級畫板所吸引。玩到第3天,就不想上網打遊戲了。不到乙個星期,就對超級畫板上了癮,很快學會了從螢幕上擷取**,把自己的作品儲存起來。
圖4就是這個三年級學生的作品。他還根據自己的想象力給每個圖案起了名字。
數形結合的思想,不僅是上面這些簡單的例子,下面還會談到。
● 寓理於算的思想容易被忽視
小學裡主要學計算,不講推理。但是,計算和推理是相通的。
中國古代數學主要是找尋解決各類問題的計算方法,不像古希臘講究推理論證。但是,計算要有方法,這方法裡就體現了推理,即寓理於算的思想。
數學活動中的畫圖和推理,歸根結底都是計算。推理是抽象的計算,計算是具體的推理,圖形是推理和計算直觀的模型。我們可以舉些例子,讓學生慢慢體會到所謂推理,本來是計算;到了熟能生巧的程度,計算過程可以省略了,還可以得到同樣的結果,就成了推理了。
有的人認為幾何推理很難,學幾何一定要先學實驗幾何。其實,實驗和推理不一定要截然分開。早期學實驗幾何階段可以推理,後期學會推理時也需要實驗。
所謂實驗,無非是觀察和計算。「對頂角相等」這樣簡單的幾何命題,實際上就是通過乙個算式證出來的,這裡的推理證明就是計算。
要把計算提公升為推理,就要用一般的文字代替特殊的數字,再用字母代替文字。不要怕讓學生早點接觸字母運算。講到「長方形的面積=長×寬」的時候,不妨告訴學生,這個公式可以用字母表示成m=c×k。
這裡用了面積、長、寬的漢語拼音,學生很容易理解。再說明用別的字母也可以。為什麼說這樣能把計算提公升為推理呢?
看乙個簡單的例子。設乙個三角形a邊上的高為h,而b邊上的高為g,根據三角形面積公式,就知道a×h=b×g;如果a=b,則h=g。這就推出了一條規律:
如果三角形的兩條邊相等,則此兩邊上的高也相等。也就是證明了一條定理。這種證明方法比利用全等三角形簡單明瞭。
我曾經在一張小學數學試卷上看到這樣一道題:「正方形的面積是5平方分公尺,求這個正方形的內切圓的面積。」表面上看,這個問題小學生解決不了,因為要求圓的面積,一般要知道圓的半徑,這題中就需要先知道正方形的邊長,而正方形的面積是5平方分公尺,邊長就是!
5分公尺,小學生沒有學過開方,似乎沒有辦法進行計算。而實際上,正方形的面積是它邊長的平方,圓的面積用到的是半徑的平方,並不一定要知道半徑,知道半徑的平方就行了,而此題中半徑的平方是直徑平方(即正方形面積)的四分之一,所以是能夠解決的。但有很多學生解決不了,而告訴他們答案後,學生往往覺得非常簡單。
這是為什麼呢?這就說明學生不能把計算轉化為推理。引導學生認識計算和推理的關係,從計算發展到推理,是很重要的。
這裡有很值得研究的問題。
小學生學的是很初等的數學,但編教材和教學研究要有高觀點。英國著名數學家阿蒂亞說過,「數學的目的,就是用簡單而基本的詞彙去盡可能地多解釋世界」,「如果我們積累起來的經驗要一代一代傳下去,就必須不斷努力把它們簡化和統一」,「過去曾經使成年人困惑的問題,在以後的年代,連孩子們都容易理解」。這幾句話,我覺得非常親切,因為多年來我一直在想能不能把數學變簡單一點,把難的變成容易的,把高等的變成初等的。
我想,高等的與初等的數學之間,沒有必然的鴻溝,主要看人們如何理解。把變數與函式的思想、形數結合的思想和寓理於算的思想結合起來,往往能夠化難為易,化繁為簡。
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