1. 推理思想的概念。
推理是從乙個或幾個已有的判斷得出另乙個新判斷的思維形式。推理所根據的判斷叫前提，根據前提所得到的判斷叫結論。推理分為兩種形式：
演繹推理和合情推理。演繹推理是根據一般性的真命題（或邏輯規則）推出特殊性命題的推理。演繹推理的特徵是：
當前提為真時，結論必然為真。演繹推理的常用形式有：三段論、選言推理、假言推理、關係推理等。
合情推理是從已有的事實出發，憑藉經驗和直覺，通過歸納和模擬等推測某些結果。合情推理的常用形式有：歸納推理和模擬推理。
當前提為真時，合情推理所得的結論可能為真也可能為假。
(1) 演繹推理。
三段論，有兩個前提和乙個結論的演繹推理，叫做三段論。三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情況，結論——根據一般原理，對特殊情況做出的判斷。
例如：一切奇數都不能被２整除，(２3＋１)是奇數，所以(２3＋１)不能被２整除。
選言推理，分為相容選言推理和不相容選言推理。這裡只介紹不相容選言推理：大前提是個不相容的選言判斷，小前提肯定其中的乙個選言支，結論則否定其它選言支；小前提否定除其中乙個以外的選言支，結論則肯定剩下的那個選言支。
例如：乙個三角形，要麼是銳角三角形，要麼是直角三角形，要麼是鈍角三角形。這個三角形不是銳角三角形和直角三角形，所以，它是個鈍角三角形。
假言推理， 假言推理的分類較為複雜，這裡簡單介紹一種充分條件假言推理：前提有乙個充分條件假言判斷，肯定前件就要肯定後件，否定後件就要否定前件。例如：
如果乙個數的末位是０，那麼這個數能被５整除；這個數的末位是０，所以這個數能被５整除。這裡的大前提是乙個假言判斷，所以這種推理儘管與三段論有相似的地方，但它不是三段論。
關係推理，是前提中至少有乙個是關係命題的推理。下面簡單舉例說明幾種常用的關係推理：(1)對稱性關係推理，如１公尺＝１００厘公尺，所以１００厘公尺＝１公尺；(2)反對稱性關係推理，a大於b，所以b不大於a ；(3)傳遞性關係推理，a>b，b>c，所以a>c。
關係推理在數學學習中應用比較普遍，如在一年級學習數的大小比較時，把一些數按從小到大或從大到小的順序排列，實際上都用到了關係推理。
(2) 合情推理。
歸納推理，是從特殊到一般的推理方法，即依據一類事物中部分物件的相同性質推出該類事物都具有這種性質的一般性結論的推理方法。歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。完全歸納法是根據某類事物中的每個事物或每個子類事物都具有某種性質，而推出該類事物具有這種性質的一般性結論的推理方法。
完全歸納法考察了所有特殊物件，所得出的結論是可靠的。不完全歸納法是通過觀察某類事物中部分物件發現某些相同的性質，推出該類事物具有這種性質的一般性結論的推理方法。依據該方法得到的結論可能為真也可能為假，需要進一步證明結論的可靠性。
數學歸納法是一種特殊的數學推理方法，從表面上看並沒有考察所有物件，但是根據自然數的性質，相當於考察了所有物件，因而數學歸納法實際上屬於完全歸納推理。
模擬推理，是從特殊到特殊的推理方法，即依據兩類事物的相似性，用一類事物的性質去推測另一類事物也具有該性質的推理方法。依據該方法得到的結論可能為真也可能為假，需要進一步證明結論的可靠性。
2. 推理思想的重要意義。
我國數學教育幾十年來的主要優勢或者說成果就是重視培養學生的運算能力、推理能力和空間想象能力。傳統的數學大綱比較強調邏輯推理而忽視了合情推理；而現行的課程標準又矯枉過正，過於強調合情推理，在邏輯推理能力方面有所淡化。近年來課程改革的實踐證明，二者不可偏廢。
就學好數學或者培養人的智力而言，邏輯推理和合情推理都是不可或缺的。據了解，課程標準修改稿在這方面有比較合理的處理，明確了推理的範圍及作用「推理能力的發展應貫穿在整個數學學習過程中。推理是數學的基本思維方式，也是人們在學習和生活中經常使用的思維方式。
推理一般包括合情推理和演繹推理。……在解決問題的過程中，合情推理有助於探索解決問題的思路，發現結論；演繹推理用於證明結論的正確性」。
數學在當今市場經濟和資訊化社會有比較廣泛的應用，人們在利用數學解決各種實際問題的過程中，雖然大量的計算和推理可以通過計算機來完成。但是就人的思維能力構成而言，推理能力仍然是至關重要的能力之一，因而培養推理能力仍然是數學教育的主要任務之一。
3. 推理思想的具體應用。
推理思想作為數學的乙個重要的思想方法，無論在小學還是在中學都有著廣泛的應用，尤其是合情推理作為數學發現的一種重要方法，在小學數學的**學習和再創造學習中應用更為廣泛。在小學數學中雖然沒有初中類似於數學證明等嚴密規範的演繹推理，但是在很多結論的推導過程中間接地應用了演繹推理。如推導出平行四邊形的面積公式之後，三角形的面積公式的推導過程是先把兩個同樣的三角形拼成乙個平行四邊形，再根據平行四邊形的面積公式推出三角形的面積公式。
這個過程實際上應用了演繹推理，如下：平行四邊形的面積等於底乘高，兩個同樣的三角形的面積等於平行四邊形的面積，所以兩個同樣的三角形的面積等於底乘高；因而乙個三角形的面積就等於底乘高的積除以2。
小學數學中推理思想的應用如下表。
4．推理思想的教學。
就演繹推理和合情推理的關係及教學建議，課程標準修改稿指出「推理貫穿於數學教學的始終，推理能力的形成和提高需要乙個長期的、循序漸進的過程。義務教育階段要注重學生思考的條理性，不要過分強調推理的形式。……教師在教學過程中，應該設計適當的學習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、模擬、畫圖等活動發現一些規律，猜測某些結論，發展合情推理能力；通過例項使學生逐步意識到，結論的正確性需要演繹推理的確認，可以根據學生的年齡特徵提出不同程度的要求」。
根據以上課程標準關於推理思想的理念和要求，在小學數學教學中要注意把握以下幾點。
第一，推理是重要的思想方法之一，是數學的基本思維方式，要貫穿於數學教學的始終。在小學數學中，除了運算是數學的基本方法外，推理也是常用的數學方法。無論是低年級的找規律、總結計算法則，還是高年級的面積、體積公式的推導，無不用到推理的思想方法。
因而，廣大教師要牢記推理思想從一年級就要開始滲透和應用，是乙個長期的培養過程。
第二，合情推理和演繹推理二者不可偏廢。合情推理多用於根據特殊的事實去發現和總結一般性的結論，演繹推理往往用於根據已有的一般性的結論去證明和推導新的結論。二者在數學中的作用都是很重要的。
第三，推理能力的培養與四大內容領域的教學要有機地結合。推理能力的發展與各領域知識的學習是乙個有機的結合過程，因而在教學過程中要給學生提供各個領域的豐富的、有挑戰性的觀察、實驗、猜想、驗證等活動，去發現結論，培養推理能力。
第四，把握好推理思想教學的層次性和差異性。推理能力的培養要結合具體知識的學習，同時要考慮學生的認知水平和接受能力。綜合現行課程標準及其修改稿關於 「數學思考」分階段的目標要求，推理能力在小學階段的要求可參考下表。
下面再結合案例談談幾種在小學數學中應用較多的推理思想的教學。
（1）模擬思想。無論是學習新知識，還是利用已有知識解決新問題，如果能夠把新知識和新問題與已有的相類似的知識進行模擬，進而找到解決問題的方法，這樣就實現了知識和方法的正遷移。因此，要引導學生在學習數學的過程中善於利用模擬思想，提高解決問題的能力。
有些模擬比較直接，如由整數的運算定律遷移到小數、分數的運算定律，問題解決中數量關係相近的問題的模擬等。而有些模擬比較隱蔽，需要在分析的基礎上才能實現。如抽屜原理，變式練習有很多，難度較大，解決此類問題的關鍵就是通過模擬找到抽屜。
應用模擬的思想方法，關鍵在於發現兩類事物相似的性質，因此，觀察與聯想是模擬的基礎。另外，中學數學與小學數學可以模擬的知識有很多，如果打好小學數學的知識基礎和掌握模擬思想，對於初中數學的學習會有較大益處。如在代數中，與整數的運算順序和運算定律相模擬，可以匯出有理數和整式的運算順序和運算定律；與分數的基本性質相模擬，可以匯出分式也具有類似的性質，並且可以推出它和分數一樣能夠進行化簡和運算。
案例：計算並觀察下面的算式，你能發現什麼規律？
１＝１2
１＋３＝４＝２2
１＋３＋５＝９＝３2
１＋３＋５＋７＝
……99＝
分析：此題是由從1開始的奇數組成的系列加法算式，每一組算式比前一組多乙個後繼的奇數。通過計算並觀察每組算式的得數，１是乙個奇數，等於１的平方；（１＋３）是前２個奇數相加，等於２的平方；（１＋３＋５）是前３個奇數相加，等於３的平方是前４個奇數相加，通過與前面算式進行模擬，猜想應該等於４的平方2＝１６，猜想正確。
那麼最後的算式是前５０個奇數相加，等於５０的平方。因此，可以歸納出一般的規律：前n個奇數相加的和等於n的平方。
（2）歸納思想。不完全歸納法在小學數學的教學中應用比較廣泛。小學數學中很多運算法則、公式、定律等的推導，都是在例舉幾個特殊例子的基礎上得出的。
如根據40+56=56+40，28+37=37+28，120+80=80+120等幾個有限的例子，得出加法交換律。數學課程標準特別強調培養學生探索圖形和數的排列規律，探索規律的過程就是乙個應用不完全歸納法的過程。
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