②在旋轉變換下，任意兩點a和b，變換後的對應點為ａ′和ｂ′，則有直線ａｂ和直線ａ′ｂ′所成的角等於θ。
③在旋轉變換下，任意兩點a和b，變換後的對應點為ａ′和ｂ′，則有ａｂ＝ａ′ｂ′。
在解決幾何問題時，旋轉的作用是使原有圖形的性質得以保持，但通過改變其位置，組合成新的圖形，便於計算和證明。
(3)反射變換。
在同一平面內，若存在一條定直線ｌ，使對於平面上的任一點p及其對應點p′，其連線pp′的中垂線都是ｌ，則稱這種變換為反射變換，也就是常說的軸對稱，定直線ｌ稱為對稱軸，也叫反射軸。
軸對稱有如下性質：
①把圖形變為與之全等的圖形，因而面積和周長不變。
②在反射變換下，任意兩點a和b，變換後的對應點為ａ′和ｂ′，則有直線ａｂ和直線ａ′ｂ′所成的角的平分線為ｌ。
③兩點之間的距離保持不變，任意兩點a和b，變換後的對應點為ａ′和ｂ′，則有ａｂ＝ａ′ｂ′。
如果乙個圖形沿一條直線摺疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形。
把乙個圖形沿某一條直線摺疊，如果它能夠與另一圖形重合，那麼就說這兩個圖形關於這條直線對稱。
軸對稱變換和軸對稱圖形是兩個不同的概念，前者是指圖形之間的關係或摺疊運動，後者是指乙個圖形。中小學數學中的很多圖形都是軸對稱圖形，利用這些圖形的軸對稱性質，可以幫助我們解決一些計算和證明的幾何問題。
(4)相似變換。
在同一平面內，圖形中的任意兩點a、b，變換後的對應點為a′、b′，也就是任一線段ab變換成a′b′，總有
a′b′＝kab(k>0，且為常數)，
則稱為相似變換。通俗地說就是乙個圖形按照一定比例放大或縮小，圖形的形狀不變。其中的k稱為相似比或相似係數，當k＝1時，即為合同變換。
相似變換有以下一些性質：
①兩個圖形的周長的比等於相似比。
②兩個圖形的面積的比等於相似比的平方。
③兩條直線的夾角保持不變。
生活中的許多現象都滲透著相似變換的思想，如物體和圖形在光線下的投影、**和**的放大或縮小、零件的圖紙等等，因而利用相似變換可以解決生活中的一些幾何問題。
2. 幾何變換思想的重要意義。
課程改革以來，幾何的教學已經由傳統的注重圖形的性質，周長、面積和體積等的計算、演繹推理能力轉變為培養空間觀念、計算能力、推理能力及觀察、操作、實驗能力並重的全面的、和諧的發展。其中推理不僅僅重視演繹推理，還特別強調合情推理。也就是說，新課程的理念在幾何的育人功能方面注重空間觀念、創新精神、探索能力、推理能力、計算能力、幾何模型等全面、和諧的發展。
而圖形變換作為幾何領域的重要內容和思想方法之一，在幾何的育人功能方面發揮著非常重要的作用。圖形變換**於生活中物體的平移、旋轉和軸對稱的這些運動現象，因而了解圖形的變換，有利於我們認識生活中豐富多彩的生活空間和形成初步的空間觀念。利用圖形變換設計美麗的圖案，有利於感受、發現和創造生活的美，有利於認識圖形之間的關係和發展空間觀念。
利用圖形變換把靜止的幾何問題通過運動變換，找到更加簡捷的解決問題的方法。
3. 幾何變換思想的具體應用。
圖形變換作為空間與圖形領域的重要內容之一，在圖形的性質的認識、面積公式的推導、面積的計算、圖形的設計和欣賞、幾何的推理證明等方面都有重要的應用。
小學數學中幾何變換思想的應用如下表。
4．幾何變換思想的教學。
(1)課程標準關於圖形變換的教學要求。
課程標準關於圖形變換的內容和目標分為以下幾個層次：
(2)教學中需要注意的問題。
圖形變換在大綱時代的小學幾何中只學習了軸對稱，而且不是幾何中的主要內容。課程標準與大綱相比，在第
一、二學段的空間與圖形領域的圖形變換方面，新增加了平移、旋轉和相似變換。這些內容雖然難度不大，但是對概念的準確性和教學要求比較難把握，給一些教師的備課和教學帶來一定困惑。下面談一談如何把握相關的概念和教學要求。
第一，對一些概念的準確把握。
平移、旋轉、軸對稱變換與生活中物體的平移、旋轉和軸對稱現象不是乙個概念。數學**於生活，但不等於生活，是生活現象的抽象和概括。生活中的平移和旋轉現象往往是物體的運動，如推拉窗、傳送帶、電梯、鐘擺、旋轉門等物體的運動，都可以稱之為平移現象或旋轉現象。
而中小學中的幾何變換都是指平面圖形在同乙個平面的變換，也就是說原圖形和變換後的圖形都是平面圖形，而且都在同乙個平面內。幾何中的平移、旋轉和軸對稱變換來自於生活中物體的平移現象、旋轉現象和軸對稱現象，如果把生活中這些物體畫成平面圖形，並且在同一平面上運動，就可以說成是幾何中的平移、旋轉和軸對稱變換了。
乙個變換是不是合同變換或相似變換，要依據概念進行判斷。如課程標準要求小學階段的平移限於水平方向和豎直方向，實際上平移也可以沿斜線方向平移，只要滿足平移的兩個條件。如高山索道、滑雪等都可以看成平移現象，畫成平面圖形就是平移變換。
再如旋轉，象旋轉門、螺旋槳、水龍頭等都可以看成旋轉現象，但是要注意它的嚴密性：一是旋轉中心必須固定，二是物體不能變形，三是旋轉的角度可大可小，可以是1度，也可以是300度。這樣的旋轉運動畫成平面圖形在同一平面的運動才是旋轉變換。
另外，幾何意義上的變換都是從圖形的對應點及其連線的幾何性質進行描述的，與圖形的顏色等無關。
案例1：一輛汽車在筆直平坦的道路上行駛，這輛汽車的運動是平移嗎？如果這輛汽車急剎車，輪胎抱死在道路上滑行是平移嗎？
分析：嚴格來說，物體的平移應該保證物體不變形而且物體上的點在物體上
的位置是固定的，輪胎在轉動時汽車的運動就不是平移了，輪胎抱死滑行就是平移。因此，前者不是平移，後者是平移。
案例2：一架直公升飛機在按一定速度飛行時螺旋槳的轉動是旋轉嗎？它停在
陸地上時螺旋槳的轉動是旋轉嗎？
分析：直公升飛機在按一定速度飛行時螺旋槳在轉動，但是它的旋轉中心一直
在移動，沒有固定，因此不能看成幾何意義上的旋轉，只能說它是生活中的旋轉現象。當它停在陸地上時螺旋槳的轉動就可以看成旋轉了。
案例3：下面的圖形是軸對稱圖形嗎？
圖(1圖(2)
分析：乙個圖形沿一條直線摺疊，直線兩邊的部分能夠完全重合，這樣的圖形才是軸對稱圖形，而光有四周或輪廓重合是不夠的。圖(1)從三角形的頂點向底邊作一條垂線，垂線兩邊的輪廓能夠重合，但是小方格沒有對應的重合的部分，因此，它不是軸對稱圖形。
圖(2)是軸對稱圖形。
第二，注意圖形變換與其它幾何知識的聯絡。
小學幾何中的很多平面圖形都是軸對稱圖形，如長方形、正方形、等腰三角形、等邊三角形、等腰梯形、菱形、圓等。一方面要在學習軸對稱時加強對這些圖形的對稱軸和軸對稱的有關性質的認識；另一方面要在學習這些圖形的概念和性質時進一步體會它們的軸對稱特點。
在推導平行四邊形、三角形和梯形的面積公式時，包括在計算組合圖形的面積時，都用到了變換思想。如三角形面積公式的推導，是把任意兩個完全相同的三角形拼成乙個平行四邊形，再利用三角形和平行四邊形的關係，求出三角形的面積公式。這實際上是把任意乙個三角形旋轉180度，再沿著一條邊平移，就組合成了乙個平行四邊形。
也就是說，把任意乙個三角形經過旋轉和平移變換，就變換成了平行四邊形。梯形面積公式的推導也是利用了這個原理。我國古代數學家劉徽利用出入相補原理求三角形和梯形的面積，實際上也用到了旋轉變換。
案例4:小明家的院子裡有一塊長30公尺、寬20公尺的長方形菜地，地里有兩條相互垂直而且寬都是1公尺的小路。這塊地實際種菜的面積是多少？
分析：此題對於小學生來說，並
不是難題，可以有多種方法。這裡可
以應用平移原理，把小路向底邊和右
邊平移。這時實際種菜的面積就轉化
為求長29公尺、寬19公尺的長方形的面
積，用長乘寬就可求出面積。
案例5: 如圖所示，三個同心圓的最大的
圓的兩條直徑相互垂直，最大的圓的半徑是
2cm，求陰影部分的面積。
分析：此題從表面上看，陰影部分比較
分散，沒有足夠的資料計算每部分陰影的面積。
根據兩條直徑相互垂直可以得出每個圓都被
平均分成了4份，每乙份旋轉90度都可以與
相鄰的部分重合。因此，可以把最外圈陰影部分的四分之一大圓繞圓心順時針旋轉90度，把中間陰影部分的四分之一圓繞圓心逆時針旋轉90度，使陰影經過旋轉集中在右上角四分之一大圓裡。陰影的面積為：
×π×2=π(cm)。
以上解題思路告訴我們，在計算乙個圖形尤其是組合圖形的面積時，利用變換原理可以使原有的圖形得到新的組合圖形，轉化為易於計算面積的圖形，從而簡化計算的步驟。
第三，對教學要求和解題方法的準確把握。
如前所述，課程標準對圖形變換的內容和教學要求有比較清晰的描述，尤其是要把握好兩個學段的內容、教學要求和解題方法。
首先像直觀判斷題，例如，乙個平面內有若干圖形，要判斷哪些圖形經過平移可以互相重合，對於小學生來說很難用任何一對對應點的連線平行且相等來判斷，只能通過直觀感受判斷，也就是說直觀感受原圖形在沒有任何轉動的情況下，通過水平、豎直或者沿斜線滑動能夠與另乙個圖形重合，就是平移。同一平面內的任何兩個圖形，如果通過平移後能夠重合，那麼最多隻需要通過兩次水平或者豎直方向的平移就能夠重合，借助方格紙可以幫助我們理解其中的道理。如在方格紙上原圖形中的點ａ(2，3)，經過平移後它的對應點為a′(8，10）。
那麼原圖形可以通過先向右平移6格，再向上平移7格；或者先向上平移7格，再向右平移6格，得到平移後的圖形。
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數學課程標準 在總體目標中明確提出 學生能獲得適應未來的社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法和必要的應用技能。這一總體目標貫穿於小學和初中，這充分說明了數學思想方法的重要性。在小學階段有意識地向學生滲透一些基本的數學思想方法可以加深學生對數學概念 公式 法則 定律的理解，提...
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