二次函式與一元二次方程之間有著密切的聯絡。在二次函式 （a≠0）中，令y=0，即得一元二次方程 。若此時方程有實數根，則此實數根就是二次函式圖象與x軸交點的橫座標。
1．判別二次函式圖象與x軸有無交點，可運用相應的一元二次方程根的判別式 ，即
△>0 拋物線與x軸有兩個不同的交點；
△=0 拋物線與x軸只有乙個交點；
△<0 拋物線與x軸無交點。
2．已知二次函式圖象與x軸的兩個交點座標為 ，則可用來求相應的二次函式的解析式。
3．已知二次函式圖象與x軸的兩個交點座標為 ，可用或求相應的二次函式圖象與x軸兩個交點之間的距離。
下面例舉各地中考題說明這些拓展內容的應用。
例1 （2023年天津市中考題改編）已知二次函式的圖象過點a（2，4），頂點的橫座標為 ，它的圖象與x軸交於兩點 ，且 。求函式解析式。
解析對於b、c兩點，有
把點a（2，4）代入函式解析式，得4=4a+2b+c。 ②
∵頂點橫座標為 ，即 。 ③
由①、②、③，得 a=-1，b=1，c=6。
∴函式解析式為： 。
例2 （2023年湖北省）拋物線 （k是常數）與x軸交於 ，（ ）兩點，與y軸交於c點，且滿足 。
（1）求此拋物線的解析式；（2）略。
解析 ，且 ， 。
又∵c（0，k+1）， ，
∴oc=-（k+1）。
又∵ ，
。根據相應方程根與係數關係， ，且 ， ，解之得k=-2，k=4。但k=4不合題意，捨去，
∴解析式為： 。
例3 （2023年福州市）已知二次函式 （m>0）。
（1）求證：它的圖象與x軸必有兩個不同的交點。
（2）這條拋物線與x軸交於兩點 ，且ab=4，求二次函式解析式。
解析 （1） ，且m>0，
∴△>0，
∴圖象與x軸必有兩上不同的交點。
（2） ，解之，得 。
∵m>0，故不合題意，捨去。
∴解析式為： 。
例4 如圖1，二次函式的圖象與x軸交於a、b兩點，與y軸交於c點，若ac=20，bc=15，∠acb=90°。求這個二次函式的解析式。
解析 ∵∠acb=90°，
∴ ，又∵oc⊥ab
∴oc·ab=ac·cb，
可得，oc=12，oa=16，ob=9。
∴a（-16，0），b（9，0），c（0，12）。
設二次函式為y=a(x+16)(x-9)，再代入c點座標，得 。
∴所求解析式為 ，即 。
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