例說處理和 差 角範圍問題的幾點做法

倪步國在三角解題中經常遇到確定和（差）角範圍的問題，學生常因確定和（差）角範圍的偏差導致解題失誤。本文舉例說明這類問題的處理方法。

一. 合理選用公式來確定

例1 已知α，β均為銳角， sinα=，求α+β的值。

解析：由已知條件有

cosα=，且0＜α+β＜π。

又cos(α+β)

=cosαcosβ-sinαsinβ

評注：若本題選擇正弦的和角公式，會因為

一、二象限角的正弦值均為正，而得出兩個結果，導致解題失誤，這就需要注意公式的合理選用，若將本例改為：設α是銳角，，且，求α+β的值，則選用正弦和角公式合理。

另外，四個象限角的正切值正負相間，故本例亦可選用正切和角公式。

二. 借用其他三角函式來確定

合理選用公式，僅對兩角和（差）的範圍在相鄰兩個象限時起作用，而對於其它情形，可通過兩角和（差）的兩個三角公式，來確定兩角和（差）的範圍。

例2 已知，且α，β都是第二象限角，試確定2α+β，2α-β所在象限。

解析：由條件α，β都是第二象限角，則有

因為2α+β，2α－β都可能落在三個象限，單獨使用正（餘）弦和差角公式，從值的符號都不能決定2α+β，2α－β的象限，但同時使用正弦、余弦的和差角公式，即可解決。

由cos(2α+β)

=cos2αcosβ－sin2αsinβ

知2α+β在

一、四象限。

又sin(2α+β)

=sin2αcosβ+cos2αsinβ

知2α+β在

一、二象限。

綜上知2α+β在第一象限。

同理可確定2α-β在第三象限。

三. 挖掘隱含條件來確定

例3 已知cos(α－β)=都是銳角，求cos(α+β)的值。

解析：由已知條件有

因為0＜sin2α=，

所以0＜2α＜，

所以0又因為0＜β＜，

所以＜-β＜0

由①、②得＜α-β＜。

又因為cos（α-β）=，

所以。從而cos(α+β)

=cos[2α-(α-β)]

=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)

評析：本例通過0＜sin2α=，發現了隱含條件：0＜α＜，將α-β的範圍縮小為，進而由cos(α-β)=,將α-β的範圍確定為，從而避免了增解。

例4 已知，且tanα,tnaβ是一元二次方程的兩個根，求α+β的值。

解析：由已知條件得tanα+tanβ=，

tanαtanβ=4＞0，

所以tnaα＜0，tanβ＜0。

又因為，

所以所以-π＜α+β＜0。

又因為tan(α+β)=

所以α+β=。

評析：本例根據韋達定理tanα+tanβ=，tanαtanβ=4，挖掘出了隱含條件tanα＜0,tanβ＜0，知，，得出了α+β的確切範圍，從而順利求解。

總之，在處理兩角和（差）範圍問題時，要注意對題目條件加以研究，特別對隱含條件的挖掘，合理選用公式靈活處理。另外涉及多角和（差）的問題，亦可依照上面做法處理。

例說處理和 差 角範圍問題的幾點做法

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P029例說處理和 差 角範圍問題的幾點做法

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兩角和 差正切

13 兩角和與差的正切 公式 1 公式t 與s c 的乙個重要區別，就是前者角 都不能取k k z 而後兩者 r，應用時要特別注意這一點 2 注意公式的變形應用 如 tan tan tan 1 tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 1 tan tan 等 例...