用數學思想方法解一元二次方程問題

山東張立旺

數學思想是數學知識的精髓，是數學內容的一種本質認識，它在學習和運用數學知識的過程中，起著觀念性的指導作用．下面舉例說明數學思想在一元二次方程中的應用．

一、轉化思想

有一些題目按照一般的解題思路去思考，往往比較煩瑣．若根據知識間內在的聯絡，恰當地把題目中的數量關係從一種形式轉化為另一種形式，問題就可能比較順利地得到解決，這就是轉化的思想方法．它能夠幫助我們開啟思路，把乙個較複雜或陌生的問題轉化成乙個已經解過的比較簡單或熟悉的問題．

例1 解方程

分析：此方程不能直接求解，可將方程整理轉化為一般形式，易知方程可直接用因式分解法求解．

解：整理，得，即

所以二、整體思想

整體的思想方法，就是將注意力和著眼點放在問題的整體上或把一些相互聯絡的量作為整體來處理的思想方法．有些一元二次方程問題，可根據其特點，採用整體處理的方法，不僅可避免複雜的計算，而且還達到了解決問題的目的．

例2 已知的值為9，則代數式的值為（）

（a）4 （b）6 （c）8 （d）10

解：由=9得，

所以．故應選d．

三、分類討論思想

當我們研究的問題包含多種可能情況，不能一概而論時，必須按可能出現的所有情況來區別討論，得出各種情況下相應的結論，這種處理問題的思想方法稱為分類思想．它既是一種數學思想方法，又是一種重要的解題策略．

例3 當為何值時，關於的方程有實數根？

解：因為題中沒明確方程的次數，需討論：

（1）當，即時，方程為一元二次方程，

因方程有實數根，所以解得．

所以，當且時，一元二次方程有實數根

（2）當，即時，方程為實數根為

總上可知，當時，方程有實數根．

四、建模思想

數學模型是一種常見的解決實際問題的思想方法，其實質是從實際問題中提取出關鍵性的基本量，將其轉化為數學問題來表達，並進行推理、計算、論證等，最後得出結論．

例4　　市**為了解決市民看病難的問題，決定下調藥品的**．某種藥品經過連續兩次降價後，由每盒200元下調至128元，求這種藥品平均每次降價的百分率是多少？

解：設這種藥品平均每次降價的百分率是，根據題意，得

解得（不合題意，捨去），

答：這種藥品平均每次降價的百分率是20%．