物理專題: 巧用數學知識解決物理問題
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(14年浙江高考)25.（22分）離子推進器是太空飛行器常用的動力系統，某種推進器設計的簡化原理如圖1所示，截面半徑為r的圓柱腔分為兩個工作區。i為電離區，將氙氣電離獲得1價正離子，ii為加速區，長度為l，兩端加有電壓，形成軸向的勻強電場。
i區產生的正離子以接近0的初速度進入ii區，被加速後以速度vm從右側噴出。
i區內有軸向的勻強磁場，磁感應強度大小為b，在離軸線r/2處的c點持續射出一定速度範圍的電子。假設射出的電子僅在垂直於軸線的截面上運動，截面如圖2所示（從左向右看）。電子的初速度方向與中心o點和c點的連線成α角（0<α<90）。
推進器工作時，向i區注入稀薄的氙氣。電子使氙氣電離的最小速度為v0，電子在i區內不與器壁相碰且能到達的區域越大，電離效果越好。已知離子質量為m；電子質量為m，電量為e。
（電子碰到器壁即被吸收，不考慮電子間的碰撞）。
（1）求ii區的加速電壓及離子的加速度大小；
（2）為取得好的電離效果，請判斷i區中的磁場方向（按圖2說明是「垂直紙面向裡」或「垂直紙面向外」）；
（3）ɑ為90時，要取得好的電離效果，求射出的電子速率v的範圍；
（4）要取得好的電離效果，求射出的電子最大速率vm與α的關係。
(15年浙江高考)25.使用迴旋加速器的實驗需要把離子束從加速器中引出，離子束引出的方法有磁遮蔽通道法和靜電偏轉法等。質量為m，速度為v的離子在迴旋加速器內旋轉，旋轉軌道時半徑為r的圓，圓心在o點，軌道在垂直紙面向外的勻強磁場中，磁感應強度為b。
為引出離子束，使用磁遮蔽通道法設計引出器。引出器原理如圖所示，一堆圓弧形金屬板組成弧形引出通道，通道的圓心位於點（點圖中未畫出）。引出離子時，令引出通道內磁場的磁感應強度降低，從而使離子從p點進入通道，沿通道中心線從q點射出。
已知oq長度為l。oq與op的夾角為，
（1）求離子的電荷量q並判斷其正負
（2）離子從p點進入，q點射出，通道內勻強磁場的磁感應強度應降為，求；
（3）換用靜電偏轉法引出離子束，維持通道內的原有磁感應強度b不變，在內外金屬板間加直流電壓，兩板間產生徑向電場，忽略邊緣效應。為使離子仍從p點進入，q點射出，求通道內引出軌跡處電場強度e的方向和大小。
1. 如圖所示，乙個質量為m的小物塊以初速度沿光滑地面滑行，然後沿光滑曲面上公升到頂部水平的高台上，並由高台上飛出。當高台的高度h為多大時，小物塊飛行的水平距離s最大？
這個距離是多少？（g取）
2.（2015秋上海月考）如圖，固定斜面傾角α=37°，質量為m的物體受拉力f作用由靜止開始沿斜面向上運動，拉力f的方向與斜面的夾角為β．在β=37°和β=0兩種情況下，若拉力f大小相同，物體沿斜面上滑的加速度相同．（sin37°=0.6，cos37°=0.
8）求：
（1）物體與斜面間的動摩擦因數；
（2）拉力f的大小在何範圍；
（3）若拉力f的大小為mg，方向可變，使物體由靜止沿斜面上滑一段位移s，則所需的最短時間t為多少？
3．如圖，整個空間存在勻強磁場，磁感應強度方向豎直向下，水平面上o處固定一電荷量為q（q＞0）的小球a，另乙個電荷量為q（q＞0）、質量為m的小球b在其上方某個水平面內做勻速圓周運動，圓心為o′．a、b間的距離為r．為了使小球能夠在該圓周上運動，求磁感應強度的最小值及小球b相應的速率（靜電力常量為k）．
4．如圖所示，磁感應強度為b=2.0×10－3t的磁場分布在xoy平面上的mon三角形區域，其中m、n點距座標原點o均為1.0m，磁場方向垂直紙面向裡。
座標原點o處有乙個粒子源，不斷地向xoy平面發射比荷為=5×107c/kg的帶正電粒子，它們的速度大小都是v=5×104m/s，與x軸正方向的夾角分布在0～90°範圍內。
（1）求平行於x軸射入的粒子，出射點的位置及在磁場中運動時間；
（2）若從o點入射的與x軸正方向成θ角的粒子恰好不能從mn邊射出，試畫出此粒子運動的軌跡；
（3）求能從直線mn射出的粒子，從粒子源o發射時的速度與x軸正向夾角範圍。
（可供參考幾個三角函式值sin41°=0.656，sin38°=0.616）。
運用二次函式求極值
1.一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以3m/s2的加速度開始行駛。恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從後邊趕過汽車。
汽車從路口開動後，在追上自行車之前過多長時間兩車相距最遠？此時距離是多少？
利用極限方法求極值
2.乙個籃球從離水平地面高為h處自由落下，當它到達地面後被彈起，每次彈起後上公升的高度為彈起前下落高度的k倍（k＜1），不計空氣阻力，問：籃球在跳動過程中可能經歷的總路程多大？
友情忠告: 必須根據題意，找出符合物理規律的物理方程或物理圖象，這也是解決物理問題的核心，決不能盲目地將物理問題純數學化。
課後練習
1．有一等腰直角三角形區域，直角邊長為。在該區域，有一垂直紙面向內磁感應強度為的勻強磁場。一束質量為、電荷量為，速度範圍在之間的帶負電粒子從中點垂直直角邊射入該磁場區域，在另一直角邊放置一塊足夠大的螢光屏，如圖所示。
重力不計，求
（1）速度至少為多大的帶電粒子，能夠在螢光屏上留下光斑。
（2）粒子在磁場中運動的時間和速度的關係。
（3）磁場區域內，螢光屏上亮點的位置和速度的關係。
2．（吉林一模）（附加題）如圖所示為研究電子槍中電子在電場中運動的簡化模型示意圖．在oxy平面的abcd區域內，存在兩個場強大小均為e的勻強電場i和ⅱ，兩電場的邊界均是邊長為l的正方形（不計電子所受重力）．
（1）在該區域ab邊的中點處由靜止釋放電子，求電子離開abcd區域的位置座標．
（2）在電場i區域內適當位置由靜止釋放電子，電子恰能從abcd區域左下角d處離開，求所有釋放點的位置．
物理專題: 運用數學知識解決物理問題
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1.如圖所示，乙個質量為m的小物塊以初速度沿光滑地面滑行，然後沿光滑曲面上公升到頂部水平的高台上，並由高台上飛出。當高台的高度h為多大時，小物塊飛行的水平距離s最大？
這個距離是多少？（g取）
在小物塊從高台上飛出瞬間的速度一定的情況下，那麼同學們都知道是h越大，飛行距離s越遠。但是現在的情況是小物塊在地面上滑行的初速度一定，那麼h越大，顯然小物塊從高台上飛出的瞬間速度就會越小。飛出的速度變小的話，s也會變小。
所以我們可以發現h不能太大，也不能太小。那麼到底怎麼求h的最佳值呢？
我們不妨換個思路：先不細究各個物理量之間的制約關係，而是列出物理方程後當成乙個求解極值的數學問題來思考。
體驗一：列方程，求極值
體驗思路： 在這道題目中，小物塊經歷了兩個過程：⑴在從光滑曲面頂部的高台飛出之前，小物塊同時受到重力和支援力，我們知道這裡支援力是不做功的，所以小物塊的機械能守恆；⑵小物塊從高台上飛出去後，只受重力作用，所以是做平拋運動。
體驗過程： 對於第乙個過程，設小物塊從曲面頂部的高台飛出的瞬間的速度為v，那麼根據機械能守恆定律，我們可以列出式子：
在第二個過程中，小物塊做平拋運動，飛行距離s和高度h之間的關係可用下面的方程組表示：
將⑴⑵聯立，消去中間量v可以得到s作為h的函式的表示式：
我們接著用數學方法求這個函式的極值：
所以，當時，s可以取到最大值，也就是最大飛行距離：
2.（2015秋上海月考）如圖，固定斜面傾角α=37°，質量為m的物體受拉力f作用由靜止開始沿斜面向上運動，拉力f的方向與斜面的夾角為β．在β=37°和β=0兩種情況下，若拉力f大小相同，物體沿斜面上滑的加速度相同．（sin37°=0.6，cos37°=0.
8）求：
（1）物體與斜面間的動摩擦因數；
（2）拉力f的大小在何範圍；
（3）若拉力f的大小為mg，方向可變，使物體由靜止沿斜面上滑一段位移s，則所需的最短時間t為多少？
【考點】牛頓第二定律；勻變速直線運動的位移與時間的關係．菁優網版權所有
【專題】壓軸題；定性思想；合成分解法；牛頓運動定律綜合專題．
【分析】（1）當β=37°時，對物體受力分析，根據牛頓第二定律列式，當β=0時，對物體受力分析，根據牛頓第二定律列式，聯立方程即可求解；
（2）根據（1）中求出的兩個加速度的表示式結合a＞0求解f的範圍；
（3）拉力f的方向與斜面的夾角為任意β時，根據牛頓第二定律求出加速度的表示式，根據數學知識求出加速度的最大值，再根據位移時間公式求解最小時間．
【解答】解：（1）β=37°時，物體的加速度為a，則：fcos37°﹣mgsin37°﹣μ（mgcos37°﹣fsin37°）=ma①
β=0時：f﹣mgsin37°﹣μmgcos37°=ma②
由①、②式有：fcos37°+μfsin37°=f，cos37°+μsin37°=1
解得：（2）由①式有：mgcos37°≥fsin37°，
解得：a＞0，由②式可得：f﹣mgsin37°﹣μmgcos37°＞0則則
（3）拉力f的方向與斜面的夾角為β，則：
fcosβ﹣mgsin37°﹣μ（mgcos37°﹣fsinβ）=ma
f（cosβ+μsinβ）﹣mgsin37°﹣μmgcos37°=ma
，其中當時，物體的加速度a最大，
物體勻加速上滑：
解得：答：（1）物體與斜面間的動摩擦因數為；
（2）拉力f的大小在何範圍為；
（3）若拉力f的大小為mg，方向可變，使物體由靜止沿斜面上滑一段位移s，則所需的最短時間t為．
【點評】本題主要考查了牛頓第二定律得直接應用，要求同學們能正確分析物體的受力情況，第3問中要寫出加速度的一半表示式，能根據數學知識求出加速度的最大值，對數學要求較高，難度適中．
3. 如圖，整個空間存在勻強磁場，磁感應強度方向豎直向下，水平面上o處固定一電荷量為q（q＞0）的小球a，另乙個電荷量為q（q＞0）、質量為m的小球b在其上方某個水平面內做勻速圓周運動，圓心為o′．a、b間的距離為r．為了使小球能夠在該圓周上運動，求磁感應強度的最小值及小球b相應的速率（靜電力常量為k）．
巧用數學知識解決生活問題
實驗小學曲富春 數學是一門應用十分廣泛的學科，它之所以應用十分廣泛，由於它 於現實生活，而高於現實生活，它所反映的是現實生活世界中某些普遍的性質。通過數學教學活動，實現數學的應有價值，讓學生學習有用的 活生生的數學。這樣既可以使學生加深對所學知識的理解和掌握，又可以提高學生靈活運用所學數學知識解決實...
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一.問題的提出 在兩支容積相同的注射器內,分別吸入相同體積的 no2 當達到平衡時,將一支注射器壓縮,可見混合氣體的紅棕色先變深,然後又變淺,說明當加大壓強時,化學平衡向正方向移動。把達到新平衡的混合氣與對比的注射器內的原混合氣的紅綜色相比較,難於清晰看出前後兩種平衡狀態的顏色的深淺?同理,當拉開注...
《應用數學知識 解決生活問題》課題總結
教學內容與學生生活實際相脫離，缺乏對學生 生活世界 的關注，學生對數學缺乏興趣，缺乏良好的數感。因此，希望於通過進行 數學生活化研究 建立學生 知識世界 和 生活世界 的橋梁，把生活中的數學原型生動地展現在課堂中，使學生眼中的數學富有情感 貼近生活 具有活力。一 研究的目標 1 探索出 應用數學解決...