物理極值問題，就是求某物理量在某過程中的極大值或極小值。物理極值問題是中學物理教學的乙個重要內容，在高中物理的力學、熱學、電學等部分均出現，涉及的知識面廣，綜合性強，加之學生數理結合能力差，物理極值問題已成為中學生學習物理的難點。隨著高考改革的深入及素質教育的全面推開，各學科之間的滲透不斷加強，作為對理解能力和演繹推理能力及運算能力都有很高要求的物理學科，如果能與數學知識靈活整合，將會拓展解決物理極值問題的思路，提高運用數學知識解決物理問題的能力。
在中學物理中，描述某一過程或者某一狀態的物理量，在其發展變化中，由於受到物理規律和條件的制約，其取值往往只能在一定的範圍內才符合物理問題的實際，求這些量的值的問題便可能涉及到要求物理量的極值。求解物理極值問題，通常涉及到的數學知識有：點到直線的距離最短,兩數的幾何平均值小於或等於它們的算術平均值,二次函式求極值的方法,求導數、因式分解,三角函式,幾何作圖法,有關圓的知識等等。
在求解物理極值過程中要想能與數學知識進行靈活的整合，充分發揮數學的作用，往往要進行數學建模。數學建模就是用數學語言描述實際現象的過程。在科學領域中，數學因為其眾所周知的準確而成為研究者們最廣泛用於交流的語言。
因此，人們常對實際事物建立種種數學模型以期通過對該模型的考察來描述，解釋，預計或分析出與實際事物相關的規律。
利用數學解決實際問題的方框圖如下：
物理極值與中學數學知識整合事例
（一） 運用二次函式求極值
1、 利用二次函式極值公式求極值
對於典型的一元二次函式,
若,則當時,y有極小值，為；
若,則當時,y有極大值，為；
例1、一輛汽車在十字路口等候綠燈，當綠燈亮時汽車以3m/s2的加速度開始行駛。恰在這時一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從後邊趕過汽車。汽車從路口開動後，在追上自行車之前過多長時間兩車相距最遠？
此時距離是多少？
解：經過時間t後，自行車做勻速運動，其位移為，
汽車做勻加速運動，其位移為：
兩車相距為：
這是乙個關於t的二次函式，因二次項係數為負值，故δs有最大值。
當2、利用一元二次方程判別式求極值
對於二次函式，可變形為一元二次方程
用判別式法即：
則由不等式可知y的極值為：
對於例題1，我們可以轉化為二次方程求解。
將可轉化為一元二次方程：
要使方程有解，必使判別式
解不等式得：，即最大值為6m
3 利用配方法求極值
對於二次函式，函式解析式經配方可變為
(1) 若a>0時，當時，y有極小值為
(2) 若a<0時，當時，y有極大值為
對於例題1還可用配方法求解。
（二）利用不等式求極值
1、如果a，b為正數，那麼有： ，當且僅當a=b時，上式取「=」號。
推論：①兩個正數的積一定時，兩數相等時，其和最小。
②兩個正數的和一定時，兩數相等時，其積最大。
2、如果a，b，c為正數，則有，當且僅當a=b=c時，上式取「=」號。
推論：①三個正數的積一定時，三數相等時，其和最小。
②三個正數的和一定時，三數相等時，其積最大。
例2、一輕繩一端固定在o點，另一端拴一小球，拉起小球使輕繩水平，然後無初速度的釋放，如圖所示，小球在運動至輕繩達到豎直位置的過程中，小球所受重力的瞬時功率在何處取得最大值？
解：當小球運動到繩與豎直方向成θ角的c時，重力的功率為：
p=mg υcosα=mgυsinθ…………①
小球從水平位置到圖中c位置時，機械能守恆有：
……………②
解①②可得：
令y=cosθsinθ
根據基本不等式，定和求積知：
當且僅當，y有最大值
結論：當時，y及功率p有最大值。
(三)利用三角函式求極值
1、利用三角函式的有界性求極值
如果所求物理量表示式中含有三角函式，可利用三角函式的有界性求極值。若所求物理量表示式可化為「」的形式，可變為，
當時，有極值。
例3、如圖所示,底邊恆定為b,當斜面與底邊所成夾角θ為多大時,物體沿此光滑斜面由靜止從頂端滑到底端所用時間才最短?
此題的關鍵是找出物體從斜面頂端滑至底端所用時間與夾角的關係式,這是一道運動學和動力學的綜合題,應根據運動學和動力學的有關知識列出物理方程。
解：設斜面傾角為θ時，斜面長為s，物體受力如
圖所示，由圖知…………①
由勻變速運動規律得
由牛頓第二定律提：mgsinθ=ma…………③
聯立①②③式解得：
可見，在90°≥θ≥0°內，當2θ=90°時，sin2θ有最大值，t有最小值。
即θ=45°時，有最短時間為：
2、利用「化一」法求三角函式極值。對於複雜的三角函式，例如，要求極值時,先需要把不同名的三角函式和，變成同名的三角函式，這個工作叫做「化一」。
故y的極大值為。
例題4、物體放置在水平地面上，物理與地面之間的動摩擦因數為，物體重為g，欲使物體沿水平地面做勻速直線運動，所用的最小拉力f為多大？
該題的已知量只有和g，說明最小拉力的表示式中最多隻含有和g ，但是，物體沿水平地面做勻速直線運動時，拉力f可由夾角的不同值而有不同的取值。因此，可根據題意先找到f與夾角有關的關係式再作分析。
解：設拉力f與水平方向的夾角為θ，根據題意可列平衡方程式，
即……①
……②…………③
由聯立①②③解得：
,其中, ∴
（四）利用向量求極值
向量就是物理學中的向量，當物體受三力平衡時，將三向量首尾相連後，必定構成三角形。利用點到直線的垂直線段最短可求極值。
對於例題4，我們也可用向量知識求極值。
將摩擦力f和地面對木塊的彈力n合成乙個力f'，如圖，f』與豎直方向的夾角為（為一定值）。這樣木塊可認為受到三個力:重力g,桌面對木塊的作用力f'和拉力f的作用。
儘管f大小方向均未確定，f』方向一定，但大小未定，但三力首尾相連後必構成三角形，如右圖所示。只用當f與f』垂直時，即拉力與水平方向成角時，拉力f最小為而故
（五） 用影象法求極值
通過分析物理過程遵循的物理規律，找到變數之間的函式關係，做出其影象，由影象可求得極值。
例5、從車站開出的汽車作勻加速運動，它開出一段時間後，突然發現有乘客未上車，於是立即制動做勻減速運動，結果汽車從開動到停下來共用20秒，前進了50公尺。求這過程中汽車達到的最大速度。
解：設最大速度為vm,即加速階段的末速度為vm：
畫出其速度時間圖象如右圖所示，圖線與t軸圍成的面
積等於位移。即：
即： （六）利用數學求導的方法求極值
如果當δx→0時，有極限，我們把這個極限叫做f(x)在該點(x=x0)的導數。它正是曲線在該點處切線的斜率tanα。如果f '(x0) =0, 則在x0處函式有極值
例6、如圖所示，相距2l的a、b兩點固定著兩個正點電荷，帶電量均為q。在它們的中垂線上的c點，由靜止釋放一電量為q，質量為m的正檢驗電荷（不計重力） 。試求檢驗電荷運動到何處加速度最大，最大加速度為多少？
解：由於對稱性，在ab的中點受力為零，在ab中垂線
上的其它點所受合力均是沿中垂線方向的。當q運動到中垂線
上的d點時，由圖可知
故其加速度為：
發現加速度是乙個關於θ的函式，令
，（）即
所以當時，加速度有最大值為：
以上求極值的方法是解高中物理題的常用方法。在使用中，還要注意題目中的條件及「界」的範圍。求最大和最小值問題，這類問題往往是物理學公式結合必要的教學知識才得出結論，這就要求學生不僅理解掌握物理概念、規律，還要具備較好的運用數學解決問題的能力。
解決極值問題的關鍵是紮實掌握高中物理的基本概念，基本規律，在分析清楚物理過程後，再靈活運用所學的數學知識。
綜上所述，無論採用何種方法解物理極值問題，首先都必須根據題意，找出符合物理規律的物理方程或物理圖象，這也是解決物理問題的核心，決不能盲目地將物理問題純數學化。
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