江蘇省江陰市第一中學傅永祝（中教二級，83984520）
拉著物體在水平面上勻速運動怎樣施力可以使所加力最小？在電路中，怎樣可以使電阻消耗的功率最大？在電場中，哪一點的電場強度最大？
通過這些例題，展示一些數學方法在處理物理物理問題上的優越性，使學生認識到，紮實的數學功底對於學好物理這門課程有很大的意義。
關鍵詞：極值問題二次函式配方法三角函式法基本不等式法
極值問題在物理課程中是常見的一類問題，對於此類問題，如果能結合一些數學上的判定方法，處理此類問題往往能達到事半功倍的效果。
（一） 二次函式配方法
把二次函式y=ax2+bx+c配方得，若a>0，則當時，y有極小值：；若a<0時，則當當時，y有極大值：。如果乙個物理問題能建立y=ax2+bx+c的數學模型，就可以用上述方法求出其極值。
例1． 一輛汽車從靜止開始以1m/s2的加速度前進，車後相距s0=25m處，與車運動方向相同的某人同時開始以6m/s的速度勻速追車，能否追上？若追不上，求人、車間的最小距離是多少？
解析當經過時間t後，汽車前進的位移為
而人前進的位移為
此時人、車相距的距離為
代入相關資料可得
上述表示式中，是t的二次函式，從該函式式一下子就可以看出，不可能等於0，即人不可能追上汽車，還可以看出，當t=6s時，人、車具有最短距離min=7m。
（二） 三角函式法
三角函式裡有很多關係式，如：、、等. 有時，處理物理極值問題時，這一類關係式是很需要的。
例2． 給房屋設計屋頂時，把屋頂設計成斜面，把雨水沿著屋頂滑下的運動理想化為小球沿光滑斜面滑下的情形，為了要使雨水能盡快地滑下並從屋簷落下，則斜面的傾角應設計成多大的角度？按這種設計，雨水從屋頂到屋簷的時間為多少？
解析如圖，設從屋頂a到屋簷b的水平距離為l，且斜面ab的傾角為θ。
當雨水（理想化為圖中的小球）從斜面滑下時，其加速度為a=gsinθ,從a到b的距離為l/cosθ,設從a到b所用的時間為t，則
得當2θ=90，sin2θ有最大值：（sin2θ）max=1。
所以，當θ=45時，t有最小值：tmin=
例3． 重量為g的木塊與水平地面間的動摩擦因數為μ，一人欲用最小的作用力使木塊做勻速運動，則此最小作用力的大小和方向應如何？
解析木塊在運動中受摩擦力作用，要減小摩擦力，應使作用力f斜向上，設當f斜向上與水平方向的夾角為α時，f的值最小，木塊受力分析如圖所示，由平衡條件知：
fcosα-μn=0
fsinα+n-g=0
解以上二式得
令，則，
可見，當α=時，f有最小值。即
（三） 基本不等式法
若a>0、b>0，則有基本不等式，且當a=b時取等號，如果變數a與b的積是個定值，則其和有極小值：（定值）；如果變數a與b的和是個定值，則其積有極大值：（定值）。
例4． 在圖示的電路中，電池的電動勢e=5v，內電阻r=10ω，固定電阻r=90ω，r0是可變電阻，在r0由零逐漸增加到400ω的過程中，可變電阻r0上消耗的熱功率達最大時r0為多大？最大值是多少？
解析：令r+r=r』
電路中的電流強度為
可變電阻r0上消耗的熱功率為
由於（定值），故具有最小值，即
當r』=r0，即r0=100ω時取等號。
就是說，當r0=100ω時，可變電阻r0上消耗的熱功率最大。
最大熱功率為
例5． 已知帶等量同種電荷的兩個點電荷a、b所帶電量均為q，相距2a，則在它們連線的中垂線上，哪一點的電場強度最大？最大值為多少？
解析設在點電荷a、b的連線的中垂線上有一點p，且ap與中垂線夾角為θ，則
①又有 ②
由①②可得 ③
將③式左右都平方，並整理成
由於（定值）
則存在極大值。即
所以當，即時取等號。
就是說，當（差不多是55）時，p點的電場強度最大：
從以上各例當中可以看出，紮實的數學功底在處理物理問題當中顯得很重要，這要求同學們在平時的練習中需要經常地有意識地訓練自己、提公升自己運用數學知識的能力。
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