1、 敘述卡享南—洛厄維變換，為什麼該變換被稱為最佳變換，何為其實用時的困難所在，舉例說明其應用。
它經常用來處理隨機變數訊號，能使變換後的分量不相關，且使均方誤差最小，所以常稱作最佳變換。
卡享南-洛厄維變換沒有固定的變換矩陣，它依賴於給定的隨機向量的協方差陣。正是這種變換的特點，也是它在實際使用時的困難所在，因為它需要依照不固定的矩陣求特徵值和特徵向量。
卡享南-洛厄維變換應用在資料壓縮技術中。特別是隨著資訊時代的發展到第三個階段-大資料時代，海量的資料每時每刻撲面而來，按照最優化原則的資料壓縮技術可以解決通訊和資料傳輸系統的通道容量不足問題。
通過對訊號作正交變換，根據失真最小的原則在變換域進行壓縮。卡享南-洛厄維變換使這種變換消除了原始訊號諸分量間的相關性，從而使資料壓縮能遵循均方誤差最小的準則實施。
2、最小二乘法的三種表現形式是什麼？以傅利葉級數展開為例說明其各自的優缺點。
希爾伯特空間中線性逼近問題的求解方法稱為最小二乘法。它有三種不同的表現形式：投影法、求導法和配方法。
下面以傅利葉級數展開為例來說明。
投影法：
設為希爾伯特空間，為中的一組歸一化正交元素，為中的某一元素。在子空間中求一元素，使得
(2-1)
由於中的元素可表示為的線性組合，那麼問題就轉化為求係數，使得
2-2)
投影定理指出了最優係數應滿足
2-3)
由此即得。也就是說，當且僅當取為關於歸一化正交系的傅利葉係數時式(2-2)成立。
求導法：
記泛函2-4)
為了便於使用求導法求此泛函的最小值，將它表為
(2-5)
其中。於是最優的應滿足
即，或。
配方法：
(2-6)
， 以上三種方法都稱為最小二乘法。比較起來，從數學理論上講，投影法較高深，求導法次之，配方法則屬初等；從方法難度上講，求導法最容易，投影法和配方法各有千秋；從結果看，配方法最好，因為它不僅求出了最優係數，而且由配方結果立即可知目標函式的極值。此外，配方法和投影法都給出了達到極小的充分和必要條件，但求導法給出的僅僅是極值的必要條件，如果是極值，還不知道是極大還是極小，故是不完整的。
但我們不能簡單的說這三種方法誰更好。因為它們實際應用時都有自己的侷限性。例如投影法必須把所討論的最優化問題放到某個希爾伯特空間的框架中去；求導法必須有可行的求導法則，如果未知的變元是向量，矩陣或函式，求導法就不那麼直捷了；而配方法則是一種技巧性很強的方法，如果目標函式比較複雜，那麼用配方法很相當困難。
3、二階矩有限的隨機變數希爾伯特空間中平穩序列的**問題的法方程稱為關於平穩序列**問題的yule-walker方程，試用投影法和求導法推導該方程。該方程的求解演算法稱為最小二乘演算法，請對這些演算法的原理予以描述。
下面先介紹什麼是隨機序列的**問題：
若二階矩有限的隨機變數希爾伯特空間中的序列，記子空間
3-1)
現在的問題是，用中的元素
(3-2)
來估計，並使得均放誤差最小，也就是求係數使得
(3-3)
這個問題就是隨機序列的**問題。
下面從投影法和求導法對其進行推導：
投影法：
根據投影定理，應是在子空間中的投影，即滿足
(3-4)
根據空間中的正交性定義，上式即為
(3-5)
這就是最佳**的法方程。因為隨機序列是平穩的，故式(3-5)可寫作
(3-6)
其中是該平穩序列的自相關，它滿足。方程(3-6)即為yule-walker方程，它的分量形式為
(3-7)
求導法：
我們先將式(3-3)改寫為如下形式
(3-8)
進一步推導有
(3-9)
利用求導公式，應滿足，即。
最小二乘演算法包括durbin演算法、levision演算法、levision-burg演算法、托布利茲方程遞推演算法、cholesky演算法。下面對其演算法予以介紹。
durbin演算法：
設yule-walker方程的解為：
(3-10)
yule-walker方程可以寫為：
(3-11)
解3-11方程的durbin遞推演算法為：從式（3-12）開始，依次按照式(3-14)和式(3-13)進行遞推運算。
(3-12)
(3-13)
(3-14)
levision演算法：
解方程（3-15）的遞推演算法是：從式(3-16)起始，依次按照(3-17)和(3-18)進行遞推運算。
3-15)
3-16)
(3-17)
3-18)
levision-burg演算法：
托布利茲方程遞推演算法：方程（3-19）的遞推演算法是：從式（3-20）起始，依次按照式（3-21）、（3-22）、（3-23）和（3-24）進行遞推運算。
3-19）
3-20)
3-21)
3-22)
3-23)
(3-24)
4、簡述卡爾曼濾波以及由其衍生出的 ekf、 ukf 和粒子濾波的原理，指出卡爾曼濾波中q 陣和 r 陣的確定方法以及對濾波結果的影響，並指出以上這些濾波演算法可能的應用。
考慮如下形式的線性最佳估計：
4-1)
其中ak和ka為待求的矩陣。式(4-1)的含義是現時刻的最佳估計為前一時刻的最佳估計的基礎上根據現時刻的觀測值做線性修正。這個問題稱為卡爾曼濾波。
求解前，對雜訊作如下假設：
1、 雜訊wl和vl都是零均值的白雜訊序列，且它們互不相關。
2、 雜訊與過去的狀態不相關。
卡爾曼濾波演算法如下：
卡爾曼濾波器分為兩個部分：時間更新方程和測量更新方程。時間更新方程負責及時向前推算當前狀態變數和誤差協方差估計的值，以便為下乙個時間狀態構造先驗估計。
測量更新方程負責反饋，它將先驗估計和新的測量變數結合以構造改進的後驗估計。時間更新方程也可視為預估方程，測量更新方程可視為校正方程。
時間更新方程為(4-1)和（4-2）：
(4-2)
狀態更新方程如下：
(4-3)
(4-4)
(4-5)
測量更新方程首先計算卡爾曼增益，接著便測量輸出以獲得，然後產生狀態的後驗估計。最後按產生估計狀態的後驗協方差。
然後反覆迭代整個過程。上一次計算得到的後驗估計被作為下一次計算的先驗估計。
過程雜訊的方差q和測量雜訊的方差r的選取的確是和你量測和系統雜訊的相關統計特性有關，目前的理論做法是通過對實驗資料（量測資料和系統建模）來進行估計，因為量測雜訊的統計特性的建模的準確性，系統在不同的環境下表現不同等，都有影響。q、r的選取是否和實際相符直接影響著濾波的精度,嚴重時還會導致濾波發散。
ekf演算法如下：
ekf演算法是一種近似方法，它將非線性模型在狀態估計值附近作泰勒級數展開，並在一階截斷，用得到的一階近似項作為原狀態方程和測量方程近似表達形式，從而實現線性化同時假定線性化後的狀態依然服從高斯分布，然後對線性化後的系統採用標準卡爾曼濾波獲得狀態估計。採用區域性線性化技術，能得到問題區域性最優解，但它能否收斂於全域性最優解，取決於函式的非線性強度以及展開點的選擇。
假定定位跟蹤問題的非線性狀態方程和測量方程如下:
在最近一次狀態估計的時刻，對以上兩式進行線性化處理，首先構造如下2個矩陣:
ukf演算法如下：
傳統的非線性濾波的方法主要是擴充套件卡爾曼濾波演算法( ekf) ,但是該演算法存在著精度不高、穩定性差、對目標機動反應遲緩等缺點. 近年來,提出了一種非線性濾波演算法- unscented卡爾曼濾波(unscentedkalman filter,即ukf). 它是根據unscented變化和卡爾曼濾波相結合得到的一種演算法.
這種演算法主要運用卡爾曼濾波的思想,但是在求解目標後續時刻的**值和量測值時,則需要應用取樣點來計算. ukf通過設計加權點δ,來近似表示n維目標取樣點,計算這些δ點經由非線性函式的傳播,通過非線性狀態方程獲得更新後的濾波值 ,從而實現了對目標的跟蹤. ukf有效地克服了擴充套件卡爾曼濾波的估計精度低、穩定性差的缺陷.
無損卡爾曼濾波是一種新型的濾波估計演算法。ukf以ut變換為基礎，摒棄了對非線性函式進行線性化的傳統做法，採用卡爾曼線性濾波框架，對於一步**方程，使用無跡(ut)變換來處理均值和協方差的非線性傳遞，就成為ukf演算法。
ut變換如下：
（1） 構造sigma點
根據隨機向量x的統計量和，構造sigma點集：
k為尺度引數，調整它可以提高精度。用這組取樣點可以近似表示狀態x的高斯分布。
(2)對sigma點進行非線性變換
對所構造出的點集進行非線性變換，得到變換後的sigma點集：
變換後的點集yi可近似地表示為的分布。
(3)計算y的均值和方差
對變換後的點集yi進行加權處理，從而得到輸出量y的均值和方差
和分別為計算均值方差的加權：
其中：。在均值和方差加權中需要確定、和的引數。
粒子濾波演算法如下：
粒子濾波的思想基於蒙特卡洛方法(monte carlo methods)，它是利用粒子集來表示概率，可以用在任何形式的狀態空間模型上。其核心思想是通過從後驗概率中抽取的隨機狀態粒子來表達其分布，是一種順序重要性取樣法(sequential importance sampling)。簡單來說，粒子濾波法是指通過尋找一組在狀態空間傳播的隨機樣本對概率密度函式進行近似，以樣本均值代替積分運算，從而獲得狀態最小方差分布的過程。
這裡的樣本即指粒子,當樣本數量n→∝時可以逼近任何形式的概率密度分布。
儘管演算法中的概率分布只是真實分布的一種近似，但由於非引數化的特點，它擺脫了解決非線性濾波問題時隨機量必須滿足高斯分布的制約，能表達比高斯模型更廣泛的分布，也對變數引數的非線性特性有更強的建模能力。因此，粒子濾波能夠比較精確地表達基於觀測量和控制量的後驗概率分布，可以用於解決slam問題。
應用情況：
卡爾曼濾波利用目標的動態資訊,設法去掉雜訊的影響，得到乙個關於目標位置的好的估計。所以在雷達系統中得到了應用，比如目標跟蹤，雖然目標的位置、速度、加速度的測量值在任何時候都有雜訊。利用卡爾曼濾波可以對對當前目標位置的濾波，也可以是對於將來位置的**，也可以是對過去位置的估計。
當然除了雷達目標跟蹤，卡爾曼濾波及其衍生的濾波演算法還應用於在交通管制領域中對車或人的**監控等。
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