巧用數學方法解「動」態平衡問題

「動」態平衡問題

「物體的平衡」是高考的乙個重要考點，幾乎每年高考都有涉及. 　　單純的「靜」態平衡問題求解方法比較多，如力的合成與分解法、整體與隔離法、正交分解法等.但涉及到「動」態平衡時難度就會被加大.

所以，「動」「動」

巧用數學方法解「動」態平衡問題

所以，「動」態平衡問題是乙個難點.

「向量三角形法」是解決「動」態平衡問題的常用方法.一般情況下利用向量三角形求解時，必須注意「2定1變」.即三個共點力中，必有乙個力大小、方向均不變（一般情況下是重力），必有乙個力方向不變，必有乙個力的大小和方向均在變.

另外，向量三角形其實是由三個共點力通過「平移」得到的，這三個共點力就是封閉三角形首尾相連的三條邊，有了這個三角形就可以進一步根據邊長的變化判斷力大小和方向的變化.但是，很多學生在做題時不能緊抓這一原則，所以不能準確確定乙個三角形的「框架」，當然也就無法看到乙個「動態的三角形」.

既然作圖收效甚微，那麼能否運用數學方法巧妙化解這一難題呢？

例題如圖1，兩根等長的繩子ab和bc吊一重物靜止，兩根繩子與水平方向夾角均為60°，現保持繩子ab與水平方向的夾角不變，將繩子bc逐漸緩慢地變化到沿水平方向，在這一過程中，繩子bc的拉力變化情況是

a.增大b.先減小，後增大

c.減小d.先增大，後減小

分析對結點b受力分析（圖2甲），保持f3不變同時平移f1、f2組成三角形（圖2乙），最後根據題意要求逐漸改變f2方向（圖2丙）.這三個圖已給出解決「動」態平衡問題的常規流程.但圖2乙中的f2變化過程出現了乙個「拐點」，「拐點」的出現說明f2的變化不是單調的，所以遇到這類問題時學生往往覺得很困難.

拓展上題中的障礙如果通過數學方法卻可以順利解決.

將圖2甲中的角度稍加變化如圖3，進行正交分解：

討論從f2表示式知：f2大小變化取決於α大小變化，題中α變化範圍是60°→0，又sin（60°+α）大小先從32增加至1再從1減小至32，所以f2是「先減小後增大」.

通常通過數學方法最後得到的是乙個簡單函式表示式，通過討論方程能化繁為簡.其實，這種數學方法的關鍵還是在於判斷各個力之間的角度關係.

拓展重g的光滑小球靜止在固定斜面和豎直擋板之間（圖3）.若擋板逆時針緩慢轉到水平位置，在該過程中，斜面和擋板對小球彈力的大小f1、f2如何變化？

分析小球受力分析如圖4，設f1與x軸夾角為α（α恆定且π/2<α<0），f2變化後與x軸夾角為θ（θ從0增加到π/2），那麼套用例題的結論.

即f2=mg2?sin（α+θ）（3）

結合受力分析圖，再根據（3）式中sin（α+θ）實際的變化範圍：從sinα增加到1，再從1減小到sin（α+θ），知道f2是先變小後變大.

綜上所述，「動」態平衡問題雖然複雜，但是只要選擇適當的方法，都能夠迎刃而解.

「動」「動」態平衡問題

所以，「動」