練習11．已知某個四位數的十位數字減去1等於其個位數字，個位數字加2等於百位數字，這個四位數的數字反著順序排列成的數與原數之和等於9878。試求這個四位數。
3．設n是滿足下列條件的最小自然數：它們是75的倍數且恰有75個
4．不能寫成兩個奇合數之和的最大偶數是多少？
5．把1，2，3，4，…，999這999個數均勻排成乙個大圓圈，從1開始數：隔過1劃掉2，3，隔過4，劃掉5，6……這樣每隔乙個數劃掉兩個數，轉圈劃下去。問：
最後剩下哪個數？為什麼？
6．圓周上放有n枚棋子，如右圖所示，b點的一枚棋子緊鄰a點的棋子。小洪首先拿走b點處的1枚棋子，然後順時針每隔1枚拿走2枚棋子，連續轉了10周，9次越過a。當將要第10次越過a處棋子取走其它棋子時，小洪發現圓周上餘下20多枚棋子。
若n是14的倍數，則圓周上還有多少枚棋子？
7．用0，1，2，3，4五個數字組成四位數，每個四位數中均沒有重複數字（如1023，2341），求全體這樣的四位數之和。
8．有27個國家參加一次國際會議，每個國家有2名代表。求證：不可能將54位代表安排在一張圓桌的周圍就座，使得任一國的2位代表之間都夾有9個人。
練習1 1.1987。
（a+d）×1000+（b+c）×110+（a+d）= 9878。
比較等式兩邊，並注意到數字和及其進製的特點，可知
a+d=8，b+c=17。
已知c-1=d，d+2=b，可求得
a=1，b=9，c=8，d=7。
即所求的四位數為1987。
2.1324，1423，2314，2413，3412，共5個。
3.432。
解：為保證n是75的倍數而又盡可能地小，因為75=3×5×5，所以可設n有三個質因數2，3，5，即n=2α×3β×5γ，其中α≥0，β≥1，γ≥2，並且
（α+1）（β+1）（γ+1）=75。
易知當α=β=4，γ=2時，符合題設條件。此時
4.38。
解：小於38的奇合數是9，15，21，25，27，33。
38不能表示成它們之中任二者之和，而大於38的偶數a，皆可表示為二奇合數之和：
a末位是0，則a=15+5n，
a末位是2，則a=27+5n，
a末位是4，則 a=9+5n，
a末位是6，則a=21+5n，
a末位是8，則a=33+5n，
其中n為大於1的奇數。因此，38即為所求。
5.406。
解：從特殊情況入手，可歸納出：如果是3n個數（n為自然數），那麼劃1圈剩下3n-1個數，劃2圈剩下3n-2個數……劃（n-1）圈就剩3個數，再劃1圈，最後剩下的還是起始數1。
36＜999＜37，從999個數中劃掉（999-36=）270個數，剩下的（36=） 729個數，即可運用上述結論。
因為每次劃掉的是2個數，所以劃掉270個數必須劃135次，這時劃掉的第270個數是（135×3=）405，則留下的36個數的起始數為406。所以最後剩下的那個數是406。
6.23枚。
解：設圓周上餘a枚棋子。因為從第9次越過a處拿走2枚棋子到第10次將要越過a處棋子時小洪拿走了2a枚棋子，所以，在第9次將要越過a處棋子時，圓周上有3a枚棋子。
依此類推，在第 8次將要越過 a處棋子時，圓周上有32a枚棋子……在第1次將要越過a處棋子時，圓周上有39a枚棋子，在第1次將要越過a處棋子之前，小洪拿走了[2(39a-1)+1]枚棋子，所以n=2(39a-1)+1+39a=310a-1。
若n=310a=59049a-1是14的倍數，則n就是2和7的公倍數，所以a必須是奇數；
若n=（7×8435+4）a-1=7×8435a+4a-1是 7的倍數，則4a-1必須是7的倍數，當a=21，25，27，29時，4a-1不是7的倍數，當a=23時，4a-1=91=7×13，是7的倍數。
當n是14的倍數時，圓周上有23枚棋子。
7.259980。
解：用十進位制表示的若干個四位數之和的加法原理為：
若干個四位數之和=千位數數字之和×1000+
百位數數字之和×100+
十位數數字之和×10+
個位數數字之和。
以1，2，3，4中之一為千位數，且滿足題設條件的四位數有4×3×2=24（個）。這是因為，當千位數確定後，百位數可以在其餘4個數字中選擇；千、百位數確定後，十位數可以在其餘3個數字中選擇；同理，個位數有2種可能。因此，滿足條件的四位數的千位數數字之和為
（1+2+3+4）×4×3×2=240。
以1，2，3，4中之一為百位數時，因為0不能作為千位，所以千位數也有3種選擇；十位數也有3種選擇（加上0）；個位數有2種選擇。因此，
百位數數字之和=（1+2+3+4）×18=180。
同理，十位數數字之和、個位數數字之和都是180。
所以滿足條件的四位數之和為
240×1000+180×（1+10+100）= 259980。
8.將54個座位按逆時針編號：1，2，…，54。
由於是圍圓桌就座，所以從1號起，逆時針轉到55，就相當於1號座；轉到56，就相當於2號座；如此下去，顯然轉到m，就相當於m被54所除的餘數號座。
設想滿足要求的安排是存在的。不妨設1和11是同一國的代表，由於任一國只有2名代表，於是11和21不是同一國代表，下面的排法是：
21和31是同一國的代表；
31和41不是同一國的代表；
41和51是同一國的代表；
51和61不是同一國的代表（61即7號座）。
由此，20k+1和20k+11是同一國的代表，若20k+1，20k+11大於54，則取這個數被54除的餘數為號碼的座位。
取k=13，則261和271是同一國的，而261被54除的餘數是45，271被54除的餘數是1，這就是說，1號座與45號座是同一國的代表，而我們已設1號與11號座是同一國的代表。這樣，1號、11號、45號的三位代表是同一國的，這是不可能的。所以題目要求的安排不可能實現。
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