2023年試題
(理工農醫類)
一、設a表示有理數的集合,b表示無理數的集合,即設a=,b=,試寫出:(1)a∪b,(2)a∩b.
[key]
一、解:(1)a∪b=.(或a∪b=r,或a∪b=實數集合.)
(2)a∩b= .(或a∩b=,或a∩b=空集.)
二、在a、b、c、d四位候選人中,(1)如果選舉正、副班長各一人,共有幾種選法?寫出所有可能的選舉結果;(2)如果選舉班委三人,共有幾種選法?寫出所有可能的選舉結果.
[key] 二、解:
所有可能的選舉結果:(把正班長、副班長按次序來寫)
ab,ac,ad,bc,bd,cd,
ba,ca,da,cb,db,dc.
所有可能的選舉結果:
abc,abd,acd,bcd.
三、下表所列各小題中,指出a是b的充分條件,還是必要條件,還是充要條件,或者都不是.
[key] 三、解: (1)必要條件
(2)充分條件
(3)充分條件
(4)充要條件
四、寫出餘弦定理(只寫乙個公式即可),並加以證明.
[key] 四、公式:設△abc的三個內角a,b,c的對邊分別為a,b,c,則有餘弦定理a2=b2+c2-2bccosa.
證法一:平面幾何證法.
如果∠a是銳角,從c作ab的垂線交ab於d,於是由勾股定理得
a2=cd2+db2
=(bsina)2+(c-bcosa)2
=b2+c2-2bccosa.
如果∠a是鈍角,從c作ab的垂線交ba的延長線於d,於是由勾股定理得
a2=cd2+bd2
=[bsin(180°-a)]2+[c+bcos(180°-a)]2
=b2+c2-2bccosa.
如果∠a是直角,cosa=0,
∴ a2=b2+c2=b2+c2-2bccosa.
證法二:解析幾何證法
以a為原點,射線ab為x軸正向,建立直角座標系,則得
a(0,0),b(c,0),c(bcosa,bsina).
由兩點間的距離公式得
a2=│bc│2 =(c-bcosa)2+(-bsina)2
=b2+c2-2bccosa.
五、解不等式(x為未知數):
[key] 五、解:原行列式可逐步簡化如下:
故原不等式為
x2(x-a-b-c)>0.
原不等式的解是
x≠0,x>a+b+c.
六、用數學歸納法證明等式
對一切自然數n都成立.
[key]
所以當n=1時等式成立.
(ii)假設當n=k時等式成立,即
所以當n=k+1時等式也成立.
根據(i)和(ii),就證明了對於一切自然數n等式都成立.
七、設2023年底我國人口以10億計算.
(1)如果我國人口每年比上年平均遞增2%,那麼到2023年底將達到多少?
(2)要使2023年底我國人口不超過12億,那麼每年比上年平均遞增率最高是多少?
下列對數值可供選用:
lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417
lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720
lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060
[key] 七、解:(1)所求人口數x(億)是等比數列10, 10×1.02, 10×(1.02)2,……的第21項,即
x=10×(1.02)20,
兩邊取對數,得
lgx=1+20lg1.02=1.17200,
∴ x=14.859(億).
答:到2023年底我國人口將達到14.859億.
(2)設人口每年比上年平均遞增率最高是y%,按題意得
10×(1+y%)20≤12,
即 (1+y%)20≤1.2.
根據對數函式的單調上公升性,對上列不等式兩邊取對數得
20lg(1+y%)≤lg1.2.
即 lg(1+y%)≤0.00396.
∴ 1+y%≤1.0092,y%≤0.0092.
答:每年比上年人口平均遞增率最高是0.92%.
八、在120°的二面角p-a-q的兩個面p和q內,分別有點a和點b.已知點a和點b到稜a的距離分別為2和4,且線段ab=10.
(1)求直線ab和稜a所成的角;
(2)求直線ab和平面q所成的角.
[key] 八、解:(1)在平面p內作直線ad⊥a於點d;在平面q內,作直線be⊥a於點e,從點d作a的垂線與從點b作a的平行線相交於點c.∴∠abc等於ab和a所成的角.
∠adc為二面角p-a-q的平面角,
∴ ∠adc=120°.又ad=2,bcde為矩形,
∴ cd=be=4.
鏈結ac,由餘弦定理得
又因ad⊥a,cd⊥a,所以a垂直於△acd所在的平面.再由bc∥a得知bc垂直於△acd所在的平面,∴bc⊥ac.
答:直線ab和稜a所成的角等於
(2)在△acd所在的平面內,作af⊥cd交cd的延長線於f點.因為△acd所在的平面⊥平面q,∴af⊥平面q.在△adf中,∠adf=60°,ad=2,
鏈結bf,於是∠abf是ab和平面q所成的角,而△abf為直角三角形,所以
答:直線ab和平面q所成的角為
(1)過點a(2,1)的直線l與所給雙曲線交於兩點p1及p2,求線段p1p2的中點p的軌跡方程.
(2)過點b(1,1)能否作直線m,使m與所給雙曲線交於兩點q1及q2,且點b是線段q1q2的中點?這樣的直線m如果存在,求出它的方程;如果不存在,說明理由.
[key] 九、解法一:(1)設直線l的方程為
y=k(x-2)+1, (i)
將(i)式代入雙曲線方程,得
(2-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-3=0, (ii)
到此,若指出所求軌跡的引數方程是
這就是所要求的軌跡方程.
(2)設所求直線方程為y=k(x-1)+1,代入雙曲線方程,整理得
(2-k2)x2+(2k2-2k)x-k2+2k-3=0, (iii)
由第二式解出k=2,但k=2不滿足第一式,所以(ⅰ)無解.
答:滿足題中條件的直線m不存在.
解法二:(1)設l的引數方程為
其中t是引數,θ為ap的傾斜角.代入所給雙曲線方程,整理得:
(2cos2θ-sin2θ)t2+2(4cosθ-sinθ)t+5=0.(v)
(2)也可用設m的引數方程的方法討論此問,得出滿足條件的直線m不存在的結論.
十、附加題:計入總分.
已知以ab為直徑的半圓有乙個內接正方形cdef,其邊長為1(如圖).
設ac=a,bc=b,作數列
u1=a-b,
u2=a2-ab+b2,
u3=a3-a2b+ab2-b3,
……,uk=ak-ak-1b+ak-2b2-……+(-1)kbk;
求證:un=un-1+un-2(n≥3).
[key] 十、證法一:通項公式可寫為
uk=ak-ak-1b+ak-2b2-…+(-1)kbk
因 a-b=ac-bc=ac-af=fc=1,
ab=ac·bc=cd2=1.
於是有證法二:由平面幾何知識算出
通項公式可寫為
要證un=un-1+un-2成立,只要證明
an+1-(-1)n+1bn+1=an-(-1)nbn+an-1-(-1)n-1bn-1,
即an-1·a2-(-1)n-1bn-1·b2=an-1·a+(-1)n-1bn-1·b+an-1-(-1)n-1bn-1,或或
上式確是等式,故證得
un=un-1+un-2.
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