★ 知識梳理 ★
內角和定理：
在中，；；
面積公式:
3．正弦定理：在乙個三角形中,各邊和它的所對角的正弦的比相等.
公式為：
4.餘弦定理：三角形任何一邊的平方等於其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍..
公式為：
變形為： ；
；★ 重難點突破 ★
1.重點：熟練掌握正弦定理、餘弦定理和面積公式，利用內角和定理實現三內角之間的轉換，解題時應注意四大定理的正用、逆用和變形用
2.難點：根據已知條件,確定邊角轉換.
3.重難點：通過正弦定理和餘弦定理將已知條件中的角化為邊或邊化為角後,再實施三角變換的轉化過程以及解三角形中的分類討論問題.
(1) 已知兩邊和其中一對角,.求另一邊的對角時要注意分類討論
問題1: 在中，a、b的對邊分別是、，且,，，那麼滿足條件的（ ）
a、 有乙個解 b、有兩個解 c、無解 d、不能確定
點撥：在解三角形中涉及到對邊對角問題一般用正弦定理，由正弦值定角的原則是大邊對大角。由得，又,故有兩解
答案b.
在解三角形時要注意充分利用平面幾何的性質
問題2: 已知圓內接四邊形的邊長分別為，，，求四邊形的面積
點撥 :如圖鏈結，則有四邊形的面積
∵，∴故由餘弦定理，在中，
在中，∴20-16=52-48
∵∴ ，
又故 ★ 熱點考點題型探析★
考點1: 運用正、餘弦定理求角或邊
題型1.求三角形中的某些元素
例1. 已知：、、是的內角，，，分別是其對邊長，向量
,，.（ⅰ）求角a的大小；
（ⅱ）若，，求的長.
【解題思路】已知對邊求對角，直接用正弦定理。
解析:(ⅰ) =……1分
=……2分
∵……4分
……6分
∵ ……7分
……8分
(ⅱ)在中，， ，
……9分
由正弦定理知：……10分
.……12分
【名師指引】已知兩邊和其中一邊的對角（如），應用正弦定理求，由求，要注意解可能有多種情況
題型2判斷三角形形狀
[例2] 在中，，試判斷三角形的形狀.
【解題思路】判定三角形形狀時，一般考慮兩個方向進行變形：（1）乙個方向是邊，走代數變形之路，通常是正、餘弦定理結合使用；（2）另乙個方向是角，走三角變形之路.通常是運用正弦定理
[解析]：方法1：利用餘弦定理將角化為邊.
∵ ∴
故此三角形是等腰三角形.
方法2：利用正弦定理將邊轉化為角.
∵ 又∴∴
∵，∴, 即故三角形是等腰三角形.
【名師指引】判斷三角形形狀時一般從角入手，利用三角形內角和定理，實施關於三角形內角的一些變形公式.
考點2: 三角形中的三角變換
題型:利用正、餘弦定理和三角函式的恒等變換,進行邊角互換,結合三角函式的圖象與性質進行化簡求值.
例1. 設的內角,,的對邊分別為, , ，且，。求：
（ⅰ）的值；（ⅱ）的值.
【解題思路】求的值需要消去角和，三角求值問題一般先考慮尋找角之間的關係
解析：（ⅰ）由餘弦定理得
故 （ⅱ）解法一＝==
由正弦定理和（ⅰ）的結論得 故
解法二：由餘弦定理及（ⅰ）的結論有 故
同理可得
從而【名師指引】在解三角形的背景下一般見「切割就化弦」
考點3 與三角形的面積相關的題
題型1:已知條件求面積
例1: 在中，，．
（ⅰ）求的值；（ⅱ）設，求的面積．
【解題思路】求角c的三角函式值可考慮用內角和定理;求三角形的面積直接用面積公式.
解析：（ⅰ）由，得，
由，得． 又所以．
（ⅱ）由正弦定理得
． 所以的面積
．【名師指引】本題主要考查三角變換、餘弦定理、三角形面積、解三角形等基礎知識，考查運算求解能力.
題型2:已知面積求線段長或角
例2.在中，,．
⑴求的值；
⑵設的面積，求的長．
【解題思路】已知面積求邊長或高,可考慮等積法.
解析：⑴由 ,得，
由，得．
所以．⑵由 ，得，由⑴知
故, 又
故所以．
【名師指引】在處理解三角形的相關問題時,逆向思維也是必不可少的.
★ 知識梳理 ★
1.已知兩角和一邊（如），由求，由正弦定理求．
2.已知兩邊和夾角（如），應用餘弦定理求邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然後利用，求另一角．
3.已知兩邊和其中一邊的對角（如），應用正弦定理求，由求，再由正弦定理或餘弦定理求邊，要注意解可能有多種情況．
4.已知三邊，應用餘弦定理求，再由，求角．
5.方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目
標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成.正北或正南，北偏東××度， 北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度.
6.俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中,視線在水平線上
方的角叫仰角,視線在水平線下方的角叫俯角.如圖中是視線，是仰角，是俯角.
7.關於三角形面積問題
①==（，，分別表示上的高）
②==★ 重難點突破 ★
（1）解三角函式應用題要通過審題領會其中的數的本質，將問題中的邊角關係與三角形聯絡起來，確定以什麼樣的三角形為模型，需要哪些定理或邊角關係列出等量或不等量關係的解題思路,然後尋求變數之間的關係，也即抽象出數學問題，
問題1. 用同樣高度的兩個測角儀和同時望見氣球在它們的正西方向的上空，分別測得氣球的仰角是和,已知間的距離為a，測角儀的高度是b，求氣球的高度.
分析：在rt△ega中求解eg，只有角α乙個條件，需要再有一邊長被確定，而△eac中有較多已知條件，故可在△eac中考慮ea邊長的求解，而在△eac中有角β，∠eac＝180°－α兩角與bd＝a一邊，故可以利用正弦定理求解ea.
解：在△ace中，ac＝bd＝a，∠ace＝β，∠aec＝α－β，
根據正弦定理，得ae＝
在rt△aeg中，eg＝aesinα＝
∴ef＝eg＋b＝＋b，
答：氣球的高度是＋b.
★ 熱點考點題型探析★
考點1:測量問題
題型:運用正、餘弦定理解決測量問題
例1.如圖4-4-12，甲船以每小時海浬的速度向正北方航行，乙船按固定方向勻速直線航行，當甲船位於處時，乙船位於甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距20海浬，當甲船航行20分鐘到達處時，乙船航行到甲船的北偏西方向的處，此時兩船相距海浬，問乙船每小時航行多少海浬？
【解題思路】解決測量問題的過程先要正確作出圖形，把實際問題中的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角.本題應先利用求出邊長,再進行進一步分析.
[解析]如圖，鏈結，由已知，，，
又 ，是等邊三角形，
，由已知，,
在中，由餘弦定理，
．．因此，乙船的速度的大小為 （海浬/小時）．
答：乙船每小時航行海浬．
【名師指引】解三角形時，通常會遇到兩種情況：①已知量與未知量全部集中在乙個三角形中，此時應直接利用正弦定理或餘弦定理;②已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優先研究，再逐步在其餘的三角形中求出問題的解.
例2.如圖，某住宅小區的平面圖呈扇形．小區的兩個出入口設定在點及點處，小區裡有兩條筆直的小路，且拐彎處的轉角為．已知某人從沿走到用了10分鐘，從沿走到用了6分鐘．若此人步行的速度為每分鐘50公尺，求該扇形的半徑的長（精確到1公尺）．
【解法一】設該扇形的半徑為r公尺. 由題意，得
cd=500（公尺），da=300（公尺），∠cdo4分
在中，……………6分
即…………………….9分
解得 （公尺13分
【解法二】連線ac，作oh⊥ac，交ac於h…………………..2分
由題意，得cd=500（公尺），ad=300（公尺），………….4分
∴ac=700（公尺6分
………….…….9分
在中，(公尺)，
∴ （公尺13分
【名師指引】解斜三角形應用題的一般步驟：
（1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖;
（2）建模：根據已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立乙個解斜三角形的數學模型;
（3）求解：利用正弦定理或餘弦定理有序地解出三角形，求得數學模型的解;
（4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解.
【新題導練】
1． 為了立一塊廣告牌，要製造乙個三角形的支架
三角形支架形狀如圖，要求，的長
度大於1公尺，且比長0.5公尺為了廣告牌
穩固，要求的長度越短越好，求最短為多少公尺？
且當最短時，長度為多少公尺？
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