2019高教社杯全國大學生數學建模競賽A題

儲油罐的變位識別與罐容表標定

摘要隨著工業革命的來臨，人們逐步機器生產代替手工業製造，燃油也成為了熱門話題.儲油罐作為加油站常用的貯存設施，對油品在不同液面高度時的貯油量進行精確的計量變得尤為重要，燃油灌的變位識別與罐容表的標定可以對油位計量管理系統需要進行定期校正，以提高其測量準確度.

本文為了研究儲油罐的變位識別與罐表標定，通過參照臥式儲油罐罐容表的工作原理，以及縱向傾斜對罐容表的影響，再利用實際檢測資料建立三個模型進行求解.

首先，為解決罐體無變位和變位後罐內油位高度與儲油量的關係.分別建立變位前後有為高度與儲油量的關係模型（未變位模型與變位後模型，其中變位後分三種情況），通過matlab積分得到v和h的關係式，再結合excel附件**以高度間隔為1cm的前提分析變位前後的有關出油量，並求出了差值研究出油罐體變位後使得儲油量增長了大概100l—200l；再者，借鑑變位後模型建立問題二的模型，同樣通過積分求出罐內儲油量v與油位高度h及縱向傾斜角度a和橫向偏轉角關係式，然後用擬合和最小二乘法粗略估計引數a和.從而用軟體算出以高度間隔為10cm為前提的罐容表標定值.

根據excel附件**2的相關資料，雖然模型求解的結果與實際有誤差，但誤差在允許範圍，說明我們的模型建立是正確的.

關鍵詞：臥式儲油罐積分法差值最小二乘法標定油品體積

通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，並且一般都有與之配套的「油位計量管理系統」，採用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內油位高度等資料，通過預先標定的罐容表（即罐內油位高度與儲油量的對應關係）進行實時計算，以得到罐內油位高度和儲油量的變化情況.

許多儲油罐在使用一段時間後，由於地基變形等原因，使罐體的位置會發生縱向傾斜和橫向偏轉等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發生改變.按照有關規定，需要定期對罐容表進行重新標定.圖1是一種典型的儲油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體.

圖2是其罐體縱向傾斜變位的示意圖，圖3是罐體橫向偏轉變位的截面示意圖.

（1）為了掌握罐體變位後對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為=4.10的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗資料如附件1所示.請建立數學模型研究罐體變位後對罐容表的影響，並給出罐體變位後油位高度間隔為1cm的罐容表標定值.

（2）對於圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位後標定罐容表的數學模型，即罐內儲油量與油位高度及變位引數（縱向傾斜角度和橫向偏轉角度）之間的一般關係.請利用罐體變位後在進/出油過程中的實際檢測資料（附件2），根據你們所建立的數學模型確定變位引數，並給出罐體變位後油位高度間隔為10cm的罐容表標定值.進一步利用附件2中的實際檢測資料來分析檢驗你們模型的正確性與方法的可靠性.

（1）我們需要掌握罐體變位後對罐容表的影響，利用罐體無變位和傾斜角為=4.10的縱向變位的實驗資料，建立數學模型算出理論與實際之間的差值從而研究罐體變位後對罐容表的影響，並對高度進行賦值，給出罐體變位後油位高間隔為1cm的罐容表標定值.

（2）利用圖1，建立罐體變位後標定罐容表的數學模型.利用罐體變位後在進/出油過程中的實際檢測資料確定變位引數給出罐體變位後油位高度間隔為10cm的罐容表標定值.

二、問題分析

針對問題一我們對橢圓柱體無變位時罐內油位高度與儲油量的關係、橢圓柱體傾斜角為的縱向變位罐內高度與儲油量的關係進行**.建立未變位模型求解出無變位時的油位高度和儲油量的關係，建立變位後模型，分三種不同情況分別求解出變位後管內高度與儲油量的關係.結合兩個模型與excel附件**1求解出差值從而確定罐體變位對罐容表的影響，並確定變位後油位高度間隔1cm的罐容表標定值.

，建立了問題二的模型，得出v和h關係，並運用積分法和matlab軟體，以及最小二乘法處理問題二模型的資料，從而得出引數，問題二模型中中的較小，因而可以把球冠體內的液面看成平行儲油罐底面，最後給出說明，從而完成儲油罐的變位和識別.

三、基本假設

（1）、假設儲油罐加油後始終不變形

（2）、假設縱向傾斜角為小角度

（3）、假設橫向偏轉角為小角度

（4）、假設油浮子能夠隨著頁面的公升高正常滑動所給假設資料不存在誤差

（5）、假設所給假設資料不存在誤差

（6）、假設溫度不影響測量結果

（7）、假設油品密度不影響測量結果

四、符號說明

s——側面面積

a——橢圓長半軸

b——橢圓的短半軸

l——橢圓柱的長度

v——儲油量

h——油浮子到油位探針底端距離

——縱向傾斜角度

——橫向偏轉角度

5.1.1未變位時模型

5.1.1.1未變位時模型的建立

不變位時橢圓柱體的標定罐容表如下圖所示：

將橢圓柱體（如上圖所示）豎切得出乙個橢圓截面，並以橢圓中心為原點建立座標軸得出下面這個圖形.

5.1.1.2模型求解

運用matlab（**見附錄）求出：

(**見附錄)

5.1.2變位後模型

5.1.2.1變位後模型的建立

將上圖如下圖所示建立座標軸，其中z軸為油位探針，原點定位於油位指標（z）在油罐體內部的中心點上.

從而得到直線ab的方程為

推出上面橢圓形圖陰影部分面積為：

下面分三種情況來求儲油量

第一種情況：當時

下圖陰影部分體積為

第二種情況：當時

下圖陰影部分體積

第三種情況：當時

下圖兩個陰影部分的面積分別為

於是儲油量為

5.1.2.2變位後模型的運用與求解

（1）用matlab分別出變形前後高度相隔1cm的體積與差值如下表所示

（2）用excel繪圖得出油罐體變形前後差值上的波動曲線

標註：其中差值=變位前體積—變位後體積

由上圖表得出結論：

（1）根據圖、表分布情況可以看出罐體變位後體積將比未變位的體積大出100-200l左右.

（2）罐體變位後標定值如上表.

5.2問題二模型

5.2.1模型的建立

下圖為橫向偏轉角豎切得到的圓

由上圖得出r、h、三者關係為

因此求出上圖陰影部分面積為

下面分三種情況求圓柱體中的儲油量

第一種情況：當時

根據上圖求得圓柱的陰影部分體積為

第二種情況：當時

上圖圓柱陰影部分體積為

第三種情況：當時

上圖左邊中的垂直截面面積為

上圖圓柱左邊陰影部分體積為

上圖圓柱右邊陰影部分體積為

5.2.2 模型的運用與求解

由於為小角度，求球冠體體積時，在忽略其液面傾斜對儲油量的影響情況下，把右邊球冠體往左移，移到儲油罐正**，把正**的液面高度作為移動后冠體（如下圖）液面高度，且正**的液面高度

[圖1]

則由上圖得

圓柱體半徑

計算得下面分三個步驟對問題二進行求解

第一步、計算左邊球罐體總體積的一半，建立座標系，

[圖2]

上圖陰影部分截面面積

上圖整個缺球體積

=如下圖所示

球的水平截面是乙個圓，

s水平（h1）是陰影部分的面積（如下圖）

顯然計算得

=用表示圖一陰影部分的體積與圖二整個缺球體積的差值從而

因此，兩邊球冠體體積之和可以表示成

從而得到整個油罐體總體積

第二步、用matlab計算出三種情況下橢圓柱體的體積以及罐容體的體積（如附錄**）.

第三步、利用excel附件二**中的編號為301到400的資料中的油量容積和油高，再結合上面求出的罐容體的體積，運用最小二乘法進行擬合，從而求出變位引數和.

6.1、模型合理性

本文通過設計未變位模型、變位後模型、問題二模型有效的模擬出儲油量與油位高度以及與變位引數之間的關係，具有較強的現實意義，可以在現實生活中得到廣泛推廣與應用.

未變位模型能很好的反映出橢圓柱無變位是罐內儲油量與油位高度的關係，擬合效果良好.

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