第一章行列式
一．行列式的定義和性質
1. 余子式和代數余子式的定義
例1行列式第二行第一列元素的代數余子式（ ）
a． b．
c． d．
測試點余子式和代數余子式的概念
解析 ,
答案 b
2．行列式按一行或一列展開的公式
1）2）
例2 設某階行列式的第二行元素分別為對應的余子式分別為則此行列式的值為
測試點行列式按行(列)展開的定理
解例3 已知行列式的第一列的元素為，第二列元素的代數余子式為2,3,4,x 問 .
測試點行列式的任意一行(列)與另一行(列)元素的代數余子式的乘積之和為零.
解因第一列的元素為，第二列元素的代數余子式為2,3,4,x,故
所以3．行列式的性質
1）2）用數乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的倍.推論
3）互換行列式的任意兩行（列）所得新行列式等於原行列式的相反數. 推論
4）如果行列式中兩行（列）對應元素成比例，則行列式值為0.
5）行列式可以按任一行（列）拆開.
6）行列式的某一行（列）的倍加到另一行（列）上，所得新行列式與原行列式的值相等.
例4 已知，那麼（ ）
a. b.
c. d.
測試點行列式的性質
解析答案 b
例5設行列式=1， =2，則=（ ）
a． b．
c．1 d．
測試點行列式的性質
解故應選 d
答案 d
二．行列式的計算
1．二階行列式和三角形行列式的計算.
2.對一般數字行列式，利用行列式的性質將其降階以化成二階行列式或三角形行列式的計算.
3．對行列式中有一行或一列中只有乙個或兩個非零元的情況，用這一行或一列展開.
4．行列式中各行元素之和為乙個常數的型別.
5.範德蒙行列式的計算公式
例6求4階行列式的值.
測試點行列式的計算
解 例7計算3階行列式
解 例8 計算行列式：
測試點各行元素之和為常數的行列式的計算技巧.
解 第二章矩陣
一、矩陣的概念
1.要弄清矩陣與行列式的區別
2.兩個矩陣相等的概念
3.幾種特殊矩陣（0矩陣，單位陣，三角陣，對角陣，數量陣）
二、矩陣的運算
1． 矩陣的加、減、乘有意義的充分必要條件
例1設矩陣,，，則下列矩陣運算中有意義的是（ ）
a． b．
c． d．
測試點: 矩陣相乘有意義的充分必要條件
答案: b
例2設矩陣，，則
測試點: 矩陣運算的定義
解 .
例3設矩陣，，則
測試點: 矩陣運算的定義
解 2．矩陣運算的性質
比較矩陣運算（包括加、減、數乘、乘法等）的性質與數的運算性質的相同點和不同點（加法的交換律和結合律；乘法關於加法的分配律；）重點是矩陣乘法沒有交換律（由此產生了矩陣運算公式與數的運算的公式的不同點.
(如果，可能例如都不為零，但.
3．轉置對稱陣和反對稱陣
1）轉置的性質
2）若，則稱為對稱（反對稱）陣
例4矩陣為同階方陣，則=（ ）
a． b．
c． d．
答案: b
例5設令,試求.
測試點矩陣乘法的乙個常用技巧
解因為,所以
答案例6為任意階矩陣，下列矩陣中為反對稱矩陣的是（ ）
a． b．
c． d．
解析故為對稱陣.
故為反對稱陣.
故為對稱陣.同理也為對稱陣.
答案 b
例7已知矩陣,為2階單位矩陣,令求
測試點方陣多項式的概念;
4. 方陣的行列式的性質
例7設為n階方陣，為實數，則=（ ）
a． b．
c． d．
答案: c
例8矩陣，則行列式
解析答案5.逆矩陣
1）方陣可逆(也稱非異，滿秩)的充分必要條件是.當可逆時，
.其中方陣的伴隨陣的定義。
特別當時，
重要公式
；； 與的關係
2）重要結論：若n階方陣滿足，則都可逆，且.
3）逆矩陣的性質：
;當時，；;.
4）消去律：設方陣可逆，且，則必有.（若不知可逆，
僅知結論不一定成立。）
6．分快矩陣
矩陣運算時，分快的原則：保證運算能順利進行（包括分塊矩陣和子塊的運算）如
；分快矩陣的運算規則；特別是分快矩陣的轉置
準對角陣的逆矩陣： 如果都是可逆陣，則
例9 二階矩陣，則＝（ ）
a． b．
c． d．
測試點伴隨矩陣的定義,二階方陣的伴隨陣
答案: a
例10 三階陣，則
測試點重要公式 .
答案例11，則
解例12 設為2階可逆矩陣，且已知，則=（ ）
a． b．
c． d．
測試點逆矩陣的性質
解由 ,所以故
答案 d
例13設求.
測試點求逆矩陣的方法
解所以注意一定要驗算
例14 已知則
測試點關於逆矩陣的重要推論
若都是階矩陣，且滿足則都可逆，且
解由得，即，
即 ，故
答案例15設是n階方陣，且，證明可逆.
測試點若則都可逆,且
證因為,即,所以
故可逆,且.
例16設階方陣滿足，其中為正整數，證明可逆，且
分析只要檢查即可
證因為.故
三、矩陣的初等變換和初等矩陣
1．初等變換的定義和性質
稱矩陣的下列三種變換為初等行變換：
（1）兩行互換；
（2）某一行乘乙個非零的數；
（3）某一行的倍加到另一行上。
類似地可定義初等列變換，初等行變換，初等列變換統稱為初等變換.
方陣經初等變換後的行列式是否變化？（分別就三種初等變換說明行列式變化的情況）
初等變換不改變方陣的可逆性；初等變換不改變矩陣的秩；行初等變換必能將矩陣化為行最簡形，初等變換必能將矩陣化為標準形，其中為矩陣的秩.
如果矩陣經過有限次的初等變換變成則稱矩陣與等價.等價矩陣有相等的秩，從而有相等的等價標準形.
2.初等矩陣的定義和性質
1）初等矩陣的定義;初等陣都可逆，且其逆也是同型別的初等陣.
2) 初等變換和矩陣乘法之間的關係
3)對任意階矩陣，總存在一系列階初等陣和一系列階初等陣使得
4)矩陣階與等價的充分必要條件是存在一系列階初等陣和一系列階初等陣使得
例17 下列矩陣中，是初等矩陣的為（ ）
a． b．
c． d．
測試點初等矩陣的定義和性質
解析c.是由單位矩陣經第三行加第一行得到的，故是初等矩陣。
答案 c
例18設三階矩陣,若存在初等矩陣,使得
則a. b. c. d.
測試點矩陣的初等變換和用初等矩陣乘的關係
答案 b
四、矩陣的階子式和矩陣秩的概念，求矩陣秩的方法
1 矩陣的階子式的概念
2 矩陣秩的概念定義矩陣的秩為0，對於非零矩陣，如果有乙個階子式不等於而所有的階子式（如果有的話）都等於則稱矩陣的秩為.顯然階可逆矩陣的秩等於，故可逆陣又稱是滿秩的.階梯形矩陣的秩等於其非零行的個數.
3. 等價矩陣有相等的秩（初等變換不改變矩陣的秩）;從而矩陣左乘（右乘）可逆陣其秩不變.反之兩個同形矩陣只要秩相等，則二者必等價.
4.求矩陣秩的方法
例19設矩陣，則中（ ）
a．所有2階子式都不為零 b．所有2階子式都為零
c．所有3階子式都不為零 d．存在乙個3階子式不為零
測試點矩陣的階子式的概念.
答案 d
例20設矩陣，矩陣，則矩陣的秩
測試點矩陣秩的概念
解答案例21設矩陣，問a為何值時，
（1）秩；
（2）秩.
測試點求矩陣秩的方法
解所以當時, 秩;當時, 秩
例22設為m×n矩陣，是n階可逆矩陣，矩陣的秩為，則矩陣的秩為
測試點用可逆矩陣左(右)乘任意矩陣,則的秩不變.
答案例23設階方陣的秩為，則與等價的矩陣為（ ）
a． b．
c． d．
答案 b
測試點矩陣等價的概念；等價矩陣有相等的秩；反之同形的兩個矩陣只要其秩相等，必等價.
解因為a,c,d的矩陣的秩都為，b的矩陣的秩等於.故答案應為b.
五、矩陣方程的標準形及解的公式
例24設矩陣，，求矩陣方程的解.
測試點解矩陣方程的方法
解驗算!例25設均為3階矩陣,為3階單位矩陣,且滿足:.若已知求矩陣.
測試點解矩陣方程的方法
解因為，故
從而，又
顯然可逆，應用消去律得
.驗算所以確有
例26已知矩陣滿足方程，求。
測試點求矩陣方程的解
解由得故
其中所以
驗算第三章向量空間
一、維向量線性運算的定義和性質;
例1．已知其中，
則測試點維向量線性運算的定義和性質
解因為,所以
故 (請驗算)
答案 .
例2設向量則由線性表出的表示式為
測試點向量由向量組線性表示;組合係數的求法
解考慮該線性方程組的增廣矩陣
所以答案 (驗算!)
二、維向量組的線性相關性
1．向量組的線性相關性的定義和充分必要條件：
1）定義: 設是一組維向量.如果存在個不全為零的數，使得
,則稱向量組線性相關，否則，即如果，必有
，則稱向量組線性無關.
2)個維向量線性相關的充分必要條件是至少存在某個是其餘向量的線性組合.即線性無關的充分必要條件是其中任意乙個向量都不能表示為其餘向量的線性組合.
例3設向量組線性相關，則必可推出（ ）
a．中至少有乙個向量為零向量
b．中至少有兩個向量成比例
c．中至少有乙個向量可以表示為其餘向量的線性組合
d．中每乙個向量都可以表示為其餘向量的線性組合
測試點向量組線性相關的概念
答案 c
例4向量組線性無關的充分條件是
a.都不是零向量
b.中任意兩個向量都不成比例
c.中任意乙個向量都不能表為其餘向量的線性組合
d.中任意個向量都線性無關
測試點向量組線性相關的概念; 充分條件;必要條件;充分必要條件.
解都不是零向量,但線性相關.
中任意兩個向量都不成比例,且其中任意個向量都線性無關,但線性相關.故a,b,d都不正確.
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