2013學年第二學期五校聯考教學調研數學（理科）試卷
滿分150分，時間120分鐘 2014.03
一、填空題（共14題，滿分56分）
1、已知線性方程組的增廣矩陣為，若該線性方程組的解為，則_______.
2、複數的虛部為________.
3、在極座標系中，曲線與曲線的交點的極座標為
4、已知的最小值為，則二項式的展開式中項的係數為________.
5、已知是奇函式，若且，則
6、設為函式的影象上的乙個最高點。為函式的影象上的乙個最低點，則的最小值為
7、若某公司從五位大學畢業生中錄用3人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為
8、過點的直線，將圓形區域分為兩部分，使得這部分面積之差最大，則直線的方程為
9、在右圖的斜截圓柱中，已知圓柱的地面直徑為，
母線長最短，最長，則斜圓柱的側面面積
10、設為拋物線上的一點，為拋物線的焦點，以為圓心，以為半徑的圓和拋物線的準線相交，則的取值範圍是
11、在正項等比數列中，，，則滿足的最大正整數的值為
12、定義：如果函式在區間上存在，滿足，則稱是函式在區間上的乙個均值點，已知函式在區間上存在均值點，則實數的取值範圍是
13、若函式滿足，當時，，若在區間上，有兩個零點，則實數的取值範圍是
14、在實數集中，我們定義的大小關係「>」為全體實數排了乙個「序」.類似的，我們再平面向量集上也可以定義乙個「序」的關係，記為「>」.
定義如下：對於任意兩個向量當且僅當「」或「」.
按上述定義的關係「>」，給出如下四個命題：
①若②若；
③若，則對於任意；
④對於任意向量，，若，則.
其中真命題的序號為
二、選擇題（共4題，滿分20分）
15、「」是「在區間上為減函式」的（ ）
a.充分不必要條件b.必要不充分條件
c.充要條件d.既非充分也非必要條件
16、設是公差為的無窮等差數列的前項和，則下列命題錯誤的是（ ）
a.若，則數列有最大項；
b.若數列有最大項，則；
c.若數列是遞增數列，則對任意,均有；
d.若對任意,均有，則數列是遞增數列.
17、過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交於兩點，它們到直線的距離之和等於5，則這樣的直線（ ）
a.有且僅有一條 b.有且僅有兩條 c.有無窮多條 d.不存在
18、設是平面直角座標系中兩兩不同的四點，若，,且，則稱調和分割,已知平面上的點調和分割點,則下列說法正確的是（ ）
a. 可能是線段的中點b. 可能是線段的中點
c. 可能同時**段上d. 不可能同時**段的延長線上
三、解答題（共5大題，滿分74分）
19、（本題滿分12分）在中，角所對的邊分別為，滿足.
（1）求角；
（2）求的取值範圍.
20、（本題滿分14分）如圖，在四稜錐中，，地面是直角梯形，，,且，,為的中點.
（1）求二面角余弦值；
（2）**段上求一點（不與兩點重合），
使得,並求出的長.
21.（本題滿分14分）某單位擬建乙個扇環麵形狀的花壇（如圖所示），該扇環麵是由以點為圓心的兩個同心圓弧和延長後通過點的兩條直線段圍成.按設計要求扇環麵的周長為30公尺，其中大圓弧所在的圓的半徑為10公尺.
設小圓弧所在圓的半徑為公尺，圓心角為（弧度）.
（1）求關於的函式關係式；
（2）已知在花壇的邊緣（實線部分）進行裝飾時，直線部分的裝飾費用為4元/公尺，弧線部分的裝飾費用為9元/公尺.設花壇的面積與裝飾總費用的比為，求關於的函式關係式，並求出為何值時，取得最大值？
22.（本題滿分16分）如圖，在正方形中，為座標原點，點的座標為，點的座標為.分別將線段和十等分，分點分別記為和,連線，過做軸的垂線與交於點（）.
（1）求證：點（）都在同一條拋物線上，並求該拋物線的方程；
（2）過點做直線與拋物線交於不同的兩點，若的面積比為4:1，求直線的方程；
（3）傾斜角為的直線經過拋物線的焦點，且與拋物線交於兩點，若為銳角，作線段的垂直平分線交軸於點，證明為定值，並求此定值.
23.（本題滿分18分）在正整數中，為的前項和，若點在函式的影象上，其中為正整數，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設數列滿足，當的時候，是否存在正整數（），使得成等比數列？若存在，求出所有的的值，若不存在，請說明理由；
（3）設數列滿足，，當的時候，在數列中，是否存在連續的三項，按原來的順序成等差數列？若存在，求出所有滿足條件的正整數的值；若不存在，說明理由.
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