陽江市第一中學曾令存
摘要：發現問題往往是創新的先聲，其意義絕不亞於解決問題。但在傳統教學中，教師往往過早、過於直接地把問題（認知衝突）呈送給學生，欠缺了乙個讓學生自主發現問題、提出問題的過程，不能讓學生體會到問題的產生過程。
這一誤區，往往使學生的問題意識得不到很好的培養，其感知問題、提出問題的能力低下，甚至把沒有問題等同於圓滿完成學習任務。為此，在教學中必須要讓學生成為問題的發現者，讓學生帶著屬於自己的問題去**，這樣才能使學生真正感受到**問題的新奇、興奮與成功的喜悅。因此，在教學中，老師的角色應是使學生遇到問題的「機緣」 創造者，而不是問題的呈送者，而學生則是問題的發現者和**者。
關鍵詞：思維展示認知衝突思維碰撞
在學生的內部認知結構中，剛剛獲取若干知識點與整個系統的聯絡往往只處於鬆散狀態，在這些新知識點（群）之間並未形成有效聯通。這就必然引起學生的某些認知迷惘和混亂，但並不意味著學生發現了問題，而只能說學生意識到問題的存在。要成功跨越這一認知迷惘階段，就必須由學生自我準確地診斷出問題出在**，問題的本質是什麼。
要實現這一目標，往往需要知識點（群）互相碰撞。通過知識碰撞，引發出能暴露問題本質的各種資訊資料，再由學生自主完成資訊資料的收集、整理、分析，把問題的本質反映出來，進而實現知識點（群）之間聯通。這就是乙個認知衝突的自主引入過程，其主體是學生。
研究發現，在以學生為主體的認知衝突自主引入的過程中，「數」與「形」、思維方式方法、「點」與「面」的相互碰撞起著關鍵作用。
一、「數形」碰撞
「數形」碰撞是幫助學生實現自主的知識碰撞的重要教學技巧。研究表明，基於「形」的具體形象特徵，「形」的碰撞往往發生在「數」（隱藏在「形」後的規律）的碰撞之前，而「形」的碰撞往往能誘發出「數」的碰撞。因此對學生而言，「數形」碰撞是實現知識有效碰撞的一種重要的**問題的手段。
在實踐中，可以分為「形」碰撞和「數」碰撞兩個環節。
例如對於以下兩個知識點：
a、如果向量a與向量b互相垂直，並且向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），那麼ab=0.
b、如果直線l1與直線l2互相垂直，並且斜率存在，分別是k1、k2，那麼k1×k2=-1.
1、以「線」為紐帶誘發「形」碰撞
向量（有向線段）的圖形與定義，跟直線有相通之處：都是線，而現在兩者均是線與線的垂直關係，那麼其中規律是否也相通？
2、以「形」碰撞匯出「數」碰撞
學生在向量與直線的圖形相通（垂直關係）的啟發下，自主地沿著圖形的相通去深入思考，在自我思維空間主動地讓兩個知識點產生碰撞，從而引發出一連串問題：
問題1、這兩個知識點均涉及垂直問題，其「形」相通，那麼其「數」即內在規律——「ab=0」和「k1×k2=-1」又有什麼聯絡？
問題2、向量與直線的圖形既然有相通之處，那麼直線的傾斜角和斜率知識能否應用於向量？
問題3、除垂直外，向量與直線還有哪些方面（如平行）相通？
這種由「形」及「數」的知識碰撞就形成認知衝突，這些問題就是知識碰撞所產生的火花。在問題的引導和啟發下，學生探索出：對於向量a=（x1，y1）和向量b=（x2，y2），當x1，y1，x2，y2均不為0時，其斜率分別為：
，。根據知識點ｂ：k 1×k2=-1，得出，即，也就是說，當向量a與向量b互相垂直，其內積為0。
同樣道理，對於向量平行，直線的斜率相等規律也能適用。
通過知識碰撞，實現了從「圖形相通」向「本質相通」的飛躍。而學生的內部知識結構，隨著知識點之間的不斷聯通，整個認知結構也會發生變化，這種變化會促使學生的數學思維變得更流暢、更嚴謹和更敏捷。
二、思維方式方法碰撞
不同的學生對於同乙個知識點的理解角度、思維方式、深度、廣度等方面往往存在差異，這種差異對實現學生的思維碰撞極為有利。某些深層次的問題往往就能在積極的思維碰撞中浮現出來。在教學中，老師應為實現學生的思維碰撞創造機遇，積極引導學生自主地把自己的思考方法、策略、對問題的見解與別人交流，讓學生從思維的交流中發現各自的不同（產生碰撞），並自主分析產生不同的原因，把其中的深層次帶有規律性的問題發現出來。
在實踐中，思維碰撞可分為三個環節：1、思維展示；2、思維方法的差異比較（思維碰撞）；3、對碰撞所引發的資訊**及分析。
例如，對於等差數列問題：1+2+3+……98+99+100=？的教學，我們進行以下實驗：
1、思維展示
在課堂上，學生產生出兩種思維方法：
方法1：對於 s=1+2+3+……98+99+100，也可以寫成s=100+99+98+……+3+2+1，把這兩個式子相加，會發現：1+100，2+99，3+98，4+97……它們的和都是101，共可以組成100個式子，所以2s=（1+100）×100 故s=.
方法2：第一項1與倒數第一項100之和、第二項2與倒數第二項99之和、第三項3與倒數第三項98之和……均為101，於是同樣得出方法1的結果。
2、思維方法差異比較（思維碰撞）
這兩種思維有相通之處，都算出正確結果。但也有不同，第一種思維必然引伸出等差數列的求和方法：，要特別注意的是，這裡作為分母「2」的分子是整個。
第二種思維必然引伸出另一種方法：。這裡作為分母「2」的分子是n。這種由分母帶來的表示式差異使思維方法差異更清晰地暴露出來。
3、資訊**與分析
思維碰撞，就是要引發碰撞的火花，這種碰撞火花往往預示著，在學生的認知結構中產生出新資訊（新知識），這正是思維碰撞的成果。應讓學生學會**與分析資訊。在上述問題中，學生的第一種對於n的奇偶問題，均容易理解；而第二種在數列項數是奇數的情況下，如何理解有個式子相加？
通過資訊**，學生認識到，能反映等差數列的求和一般規律，也就是說，乙個新的知識在學生的認知結構生成了。同時，通過對資訊的深入分析，在思維上的侷限性也暴露出來了。但這種侷限只是相對這一階段的學生而言的，當學生在深入**等差數列：
a1 ， ，，……，，就能發現，當n是奇數時，有中間項，並且等於，也就是說，中間項可以理解為個，這一理解就可以為中的自圓其說，而其侷限性就被打破了。如果在這一階段，上述的侷限性沒有被暴露出來，讓這一侷限性潛藏在學生的思維中，學生在以後的學習（如數學歸納法和二項式定理）就會產生認知模糊。例如，展開後的二項式係數最大值問題，就往往要討論n的奇偶和中間項問題，如果在等差數列的學習階段不打破這一侷限，那麼這一侷限就會延伸至此。
三、點麵碰撞
在**性學習當中，學生所**的問題（外部知識）往往比較複雜抽象，如何引導學生主動進入問題所處的外部知識環境當中進行**？研究發現，點麵碰撞是一種可行的方法。所謂點麵碰撞，就是學生根據問題和自我內在知識結構特點，創造性地設計出若干個知識點，與「面」——問題所處的外部知識環境碰撞，積極**碰撞所引發的各種資訊，對這些資訊進行分析和加工，使問題的本質暴露出來。
點麵碰撞有以下三個關鍵環節：一是 「點」的創設；二是以點帶面，求索引證。
例如，已知全集u是全體自然數，子集a=，子集b=，那麼以下關係正確的是：
（a） （b）
（c） （d）
這是考察集合關係（子集、補集）問題。
1、設「點」
實驗課中，教師引導學生根據外部問題和內在知識結構特點設計出如下的「點」：設全集u=，則a=，b=。學生通過自主進行點的創設，就能較好地體驗到從特殊邁向一般的認知規律。
2、點麵碰撞
讓學生以特例對選擇項逐一試驗：
對於選擇項（a），a∪b=∪=，即u≠a∪b；
對於選擇項（b），=∪=，即u≠；
對於選擇項（c），=∪=，即u=；
對於選擇項（d），=∪=，即u≠.
因此，根據排除法，答案是c。
進而以點帶面，把思維由「點」向整個「面」延伸——對於集合a=和b=，其內在聯絡與a=和b=有什麼相通之處？這樣，就能從「點」的對比（a=與b=的子集關係）當中發現a=與b=的內在聯絡，從而認識到全集u、集合a、b與集合、的關係，從點及面地得出正確答案。
《初等代數研究教程》
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