n2n-1 2
2、背面追及相遇
與迎面相遇類似，背面相遇同樣是甲、乙兩人從a、b兩地同時出發，如下圖，此時可假設全程為4份，甲1分鐘走1份，乙1分鐘走5份。則第一次背面追及相遇在a處，再經過1分鐘，兩人在b處迎面相遇，到第3分鐘，甲走3份，乙走15份，兩人在c處相遇。我們可以觀察，第一次背面相遇時，兩人的路程差是1個全程，第二次背面相遇時，兩人的路程差為3個全程。
同樣第二次相遇多走的路程是第一次相遇的2倍，單看每個人多走的路程也是第一次的2倍。依次類推，得：第n次背面追及相遇兩人的路程差為（2n-1）s。
（二）單岸型
單岸型是兩人同時從一端出發，與兩岸型相似，單岸型也有迎面碰頭相遇和背面追及相遇兩種情況。
1、迎面碰頭相遇：
如下圖，假設甲、乙兩人同時從a端出發，假設全程為3份，甲每分鐘走2份，乙每分鐘走4份，則甲乙第一次迎面相遇在a處，此時甲走了2份，乙走了4份，再過1分鐘，甲共走了4份，乙共走了8份，在b處迎面相遇，則第二次相遇多走的跟第一次相遇相同，依次類推，可得出：當第n次碰頭相遇時，兩人的路程和為2ns。
2、背面追及相遇
與迎面相遇相似，假設全程為3份，甲每分鐘走1份，乙每分鐘走7份，則第一次背面相遇在a處，2分鐘後甲走了2份，乙走了14份，兩人在b處相遇。第一次相遇，兩人走的路程差為2s，第二次相遇兩人走的路程差為4s，依次類推，可以得出：當第n次追及相遇時，兩人的路程差為2ns。
「直線型」總結（熟記）
①兩岸型：
第n次迎面碰頭相遇，兩人的路程和是（2n-1）s。
第n次背面追及相遇，兩人的路程差是（2n-1）s。
②單岸型：
第n次迎面碰頭相遇，兩人的路程和為2ns。
第n次背面追及相遇，兩人的路程差為2ns。
下面列出幾種今後可能會考到的直線型多次相遇問題常見的模型：
：根據2倍關係求ab兩地的距離。
【例1】甲、乙兩人在a、b兩地間往返散步，甲從a，乙從b同時出發，第一次相遇點距b
60公尺，當乙從a處返回時走了10公尺第二次與甲相遇。a、b相距多少公尺？
a、150b、170c、180d、200
【答案及解析】b。如下圖，第一次相遇在a處，第二次相遇在b處，ab的距離為60，ab的距離為10。以乙為研究物件，根據2倍關係，乙從a到a，再到b共走了第一次相遇的2倍，即為60×2=120公尺，ab為10，則aa的距離為120-10=110公尺，則ab距離為110+60=170公尺。
：告訴兩人的速度和給定時間，求相遇次數。
【例2】甲、乙兩人在長30公尺的泳池內游泳，甲每分鐘遊37.5公尺，乙每分鐘遊52.5公尺。
兩人同時分別從泳池的兩端出發，觸壁後原路返回，如是往返。如果不計轉向的時間，則
從出發開始計算的1分50秒內兩人共相遇多少次？
a、2b、3c、4d、5
【答案及解析】b。題目沒說是迎面還是背面，所以兩種相遇的次數都應該計算。分開討論，如是是迎面相遇，則走的全程的個數為個，根據迎面相遇n次，走的全程為2n-1=5，求得n=3；如果是背面相遇，則走的全程數為，故在1分50秒內，不能背面相遇。
所以共相遇3次。
：告訴兩人的速度和任意兩次迎面相遇的距離，求ab兩地的距離。
【例3】甲、乙兩車分別從a、b兩地同時出發，在a、b間不斷往返行駛。甲車每小時行
20千公尺，乙車每小時行50千公尺，已知兩車第10次與第18次迎面相遇的地點相距60千公尺，
則a、b相距多少千公尺？
a、95b、100c、105d、110
【答案及解析】c。走相同時間內，甲乙走的路程比為20：50=2：
5。將全程看成7份，則第一次相遇走1個全程時，甲走2份，乙走5份。以甲為研究物件（也可以以乙），第10次迎面相遇走的全程數為2×10-1=19個，甲走1個全程走2份，則走19個全程可走19×2=38份。
7份是乙個全程，則38份共有38÷7=5…3份（當商是偶數時從甲的一端數，0也是偶數；當商是奇數時從乙的一端數，比如第1個全程在乙的一端，第2個全程在甲的一端）從乙端數3份。同理當第18次相遇，甲走的份數為（2×18-1）×2=70份。共有70÷7=10個全程，10為偶數在甲的端點。
如下圖：
則第10次相遇與第18次相遇共有4份為60千公尺，所以ab長為千公尺。
點評：對於給定任意兩次的距離，主要是根據速度轉化為全程的份數，找乙個為研究物件，看在相遇次數內走的全程數，從而轉化為份數，然後根據乙個全程的份數，將研究物件走的總份數去掉全程的個數看剩餘的份數，注意由全程的個數決定剩餘的份數從哪一端數。
【例4】甲、乙兩車分別從a、b兩地同時出發，在a、b間不斷往返行駛。甲車每小時行
45千公尺，乙車每小時行36千公尺，已知兩車第2次與第3次迎面相遇的地點相距40千公尺，
則a、b相距多少千公尺？
a、90b、180c、270d、110
【答案及解析】a。法一：同上題。
相同時間，甲、乙路程比為45：36=5：4，則將全程分成9份。
則乙個全程時甲走5份，乙走4份。以甲為研究物件，第2次相遇，走的全程數為2×2-1=3個，則甲走的份數為3×5=15份，乙個全程為9份，則第2次相遇甲走的份數轉化為全程的個數為15÷9=1…6份，則從乙端數6份。第3次相遇走的份數為（2×3-1）×5=25份，轉化為全程的個數為25÷9=2…7，則從甲端數7份。
如下圖：
由圖第2次和第3次相遇之間共有4份為40千公尺，則ab相距=90千公尺。
法二：在此引入「沙漏模型」。利用沙漏模型解題的前提是題幹中已知兩人的速度。
將速度轉化為相同路程的條件下兩人的時間比，則以時間為刻度，畫出兩人到達對岸的路線圖，兩人走的路線圖相交的點即為兩人相遇的地點。s-t圖中的路線因像古代記時間的沙漏故稱為「沙漏模型」。本題中，甲、乙走到端點用的時間比為36：
45=4：5。如下圖：
根據路線圖看出甲乙第2次相遇和第3次相遇的交點e和o，根據三角形相似，可得ce:eg=3:6=1:
2，則求得第2次相遇距a地的比例為s/3，同理do:on=7：2，則第3次相遇距a地的比例為7s/9，則兩次相遇比例為為40千公尺，則s=90千公尺。
點評：考生如果能掌握「沙漏」模型，則會直觀快速的提高解題速度。用交點判斷是迎面相遇還是背面相遇的技巧：
看相交的兩條線是由同一岸引出還是兩岸，同一岸則說明是背面相遇，不同岸則說明是迎面相遇。
用時注意：一般題干涉及到的相遇次數較少時可畫，相遇次數太多，則會花費大量時間，不利於提高速度；畫時的單位刻度要看時間比，如果時間比中的資料較大可把刻度畫大。
：告訴兩人的速度，相遇次數較少時，利用s-t圖形成「沙漏」模型速解。
【例5】a、b兩地相距950公尺。甲、乙兩人同時由a地出發往返鍛鍊半小時。甲步行，每
分鐘走40公尺；乙跑步，每分鐘行150公尺。則甲、乙二人第幾次迎面相遇時距b地最近。
a、1b、2c、3d、4
【答案及解析】b。利用「沙漏模型」。甲乙走到端點用的時間比為150：
40=15：4，半小時兩人共走的全程數為個。對於單岸型，相遇6個全程，則是迎面第三次相遇（由前邊公式推出）畫出s-t圖：
觀察上圖可知，可第3次迎面相遇的過程中，甲乙有一次背面相遇（交點由同一點引出）。而在三次迎面相遇中第2次相遇離b地最近，並且可根據三角形相似求出離b地的距離。
【例6】河道賽道長120公尺，水流速度為2公尺/秒，甲船靜水速度為6公尺/秒，乙船靜水速度
為4公尺/秒。比賽進行兩次往返，甲、乙同時從起點出發，先順水航行，問多少秒後甲、
乙船第二次迎面相遇？
a、48b、50c、52d、54
【答案及解析】c。由題知，得出如下關係：
注：（ ）中為走完全程的時間。
假設a到b是順流，由上表可知甲、乙兩人第2次迎面相遇共有4個全程。由於甲的速度快，則第2次相遇前甲已走了2個全程。共15+30=45秒。
當第45秒時乙走了乙個順流全程20秒和25秒的逆流，走的路程為25×2=50公尺，則在剩餘的70公尺內，甲乙分別以順流和逆流相遇時間為t，則有70=（8+2）×t，求得t=7秒，則共用時間45+7=52秒。
本題同樣可用「沙漏模型」解決。根據上表中的速度關係，可得出乙個全程時的時間關係如下：
根據時間的關係，得出s-t影象，如下：
觀察上圖，可看出第二次迎面相遇在p點，以甲為研究物件計算時間，此時甲走了乙個順流，乙個逆流，另外ep段為順流，根據三角形相似可求出走ep用的時間ep:pn=ef:mn=7:
8，由上表，求出走ep用的時間為，則甲共走的時間為15+30+7=52。
二、環型
環型主要分兩種情況，一種是甲、乙兩人同地同時反向迎面相遇（不可能背面相遇），一種是甲、乙兩人同地同時同向背面追及相遇（不可能迎面相遇）。分開討論如下：
（一）甲、乙兩人從a地同時反向出發：
如下圖，乙個周長分成4份，假設甲是順時針每分鐘走1份到b，乙是逆時針每分鐘走3份到b，則第一次相遇兩人走了1個周長，則再過1分仲，甲再走1份到c，同樣乙走3份也到c，則第二次相遇共走了2個周長，依次類推，可得出：第n次迎面相遇共走了n圈。
多次相遇和追及問題詳解
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