電磁感應經典例題
第一講基本定律
一、楞次定律
1、定律：感應電流的磁場總是阻礙引起感應電流的磁通量的變化。
注意點：阻礙「變化」而非阻礙原磁場本身；兩個磁場的存在。
2、能量實質：發電結果總是阻礙發電過程本身——能量守恆決定了楞次定律的必然結果。
【例題1】在圖10-1所示的裝置中，令變阻器r的觸頭向左移動，判斷移動過程中線圈的感應電流的方向。
【解說】法一：按部就班應用楞次定律；
法二：應用「發電結果總是阻礙發電過程本身」。由「反抗磁通增大」→線圈必然逆時針轉動→力矩方向反推感應電流方向。
【答案】上邊的電流方向出來（下邊進去）。
〖學員思考〗如果穿過線圈的磁場是一對可以旋轉的永磁鐵造成的，當永磁鐵逆時針旋轉時，線圈會怎樣轉動？
〖解〗略。
〖答〗逆時針。
——事實上，這就感應電動機的基本模型，只不過感應電動機的旋轉磁場是由三相交流電造就的。
3、問題佯謬：在電磁感應問題中，可能會遇到沿不同途徑時得出完全相悖結論的情形，這時，應注意什麼抓住什麼是矛盾的主要方面。
【例題2】如圖10-2所示，在勻強磁場中，有圓形的彈簧線圈。試問：當磁感應強度逐漸減小時，線圈會擴張還是會收縮？
【解說】解題途徑一：根據楞次定律之「發電結果總是阻礙發電過程本身」，可以判斷線圈應該「反抗磁通的減小」，故應該擴張。
解題途徑二：不論感應電流方向若何，彈簧每兩圈都是「同向平行電流」，根據安培力的常識，它們應該相互吸引，故線圈應該收縮。
這兩個途徑得出的結論雖然是矛盾的，但途徑二有不嚴謹的地方，因為導線除了受彼此間的安培力之外，還受到外磁場的安培力作用，而外磁場的安培力是促使線圈擴張的，所以定性得出結論事實上是困難的。但是，途徑一源於能量守恆定律，站的角度更高，沒有漏洞存在。
【答案】擴張。
〖學員思考〗如圖10-3所示，在平行、水平的金屬導軌上有兩根可以自由滾動的金屬棒，當它們構成閉合迴路正上方有一根條形磁鐵向下運動時，兩根金屬棒會相互靠攏還是相互遠離？
〖解〗同上。
〖答〗靠攏。
二、法拉第電磁感應定律
1、定律：閉合線圈的感應電動勢和穿過此線圈的磁通量的變化率成正比。即
ε= n
物理意義：n為線圈匝數；有瞬時變化率和平均變化率之分，在定律中的ε分別對應瞬時電動勢和平均電動勢。
圖象意義：在φ－t圖象中，瞬時變化率對應圖線切線的斜率。
【例題3】面積為s的圓形（或任何形）線圈繞平行環麵且垂直磁場的軸勻速轉動。已知勻強磁場的磁感應強度為b ，線圈轉速為ω，試求：線圈轉至圖19-4所示位置的瞬時電動勢和從圖示位置開始轉過90°過程的平均電動勢。
【解說】本題是法拉第電磁感應定律的基本應用。求瞬時電動勢時用到極限= 1 ；求平均電動勢比較容易。
【答案】bsω ； bsω 。
2、動生電動勢
a、磁感應強度不變而因閉合迴路的整體或區域性運動形成的電動勢成為動生電動勢。
b、動生電動勢的計算
在磁感應強度為b的勻強磁場中，當長為l的導體棒一速度v平動切割磁感線，且b、l、v兩兩垂直時，ε= blv ，電勢的高低由「右手定則」判斷。這個結論的推導有兩種途徑——
①設定輔助迴路，應用法拉第電磁感應定律；
②導體內部洛侖茲力與電場力平衡。導體兩端形成固定電勢差後，導體內部將形成電場，且自由電子不在移動，此時，對於不在定向移動的電子而言，洛侖茲力f和電場力f平衡，即
f = f 即 qe = qvb
而導體內部可以看成勻強電場，即 = e
所以ε= blv
當導體有轉動，或b、l、v並不兩兩垂直時，我們可以分以下四種情況討論（結論推導時建議使用法拉第電磁感應定律）——
①直導體平動，l⊥b ，l⊥v ，但v與b夾α角（如圖10-5所示），則ε= blvsinα；
②直導體平動，v⊥b ，l⊥b ，但v與l夾β角（如圖10-6所示），則ε= blvsinβ；
推論：彎曲導體平動，端點始末連線為l ，v⊥b ，l⊥b ，但v與l夾γ角（如圖10-7所示），則ε= blvsinγ；
③直導體轉動，轉軸平行b、垂直l、且過導體的端點，角速度為ω（如圖10-8所示），則ε= bωl2 ；
推論：直導體轉動，轉軸平行b、垂直l、但不過導體的端點（和導體一端相距s），角速度為ω（如圖10-9所示），則ε1 = blω(s + )（軸在導體外部）、ε2 = bω(l2－2s) = b(l－2s) ω(s +)（軸在導體內部）；
☆這兩個結論由學員自己推導 (教師配合草稿板圖) …
④直導體轉動，轉軸平行b、和l成一般夾角θ、且過導體的端點，角速度為ω（如圖10-9所示），則ε= bωl2sin2θ ；
推論：彎曲導體（始末端連線為l）轉動，轉軸轉軸平行b、和l成一般夾角θ、且過導體的端點，角速度為ω（如圖10-10所示），則ε= bωl2sin2θ。
統一的結論：種種事實表明，動生電動勢可以這樣尋求——即ε= blv ，而b、l、v應彼此垂直的（分）量。
【例題4】一根長為l的直導體，繞過端點的、垂直勻強磁場的轉軸勻角速轉動，而導體和轉軸夾θ角，已知磁感應強度b和導體的角速度ω ，試求導體在圖10-11所示瞬間的動生電動勢。
【解說】略。（這個導體產生的感應電動勢不是恆定不變的，而是乙個交變電動勢。）
【答案】ε= bωl2sin2θ 。
第二講感生電動勢
一、感生電動勢
造成迴路磁通量改變的情形有兩種：磁感應強度b不變迴路面積s改變（部分導體切割磁感線）；迴路面積s不變而磁感應強度b改變。對於這兩種情形，法拉第電磁感應定律都能夠求出（整個迴路的）感應電動勢的大小（前一種情形甚至還可以從洛侖茲力的角度解釋）。
但是，在解決感應電動勢的歸屬問題上，法拉第電磁感應定律面臨這前所未有的困難（而且洛侖茲力角度也不能解釋其大小）。因此，我們還是將兩種情形加以區別，前一種叫動生電動勢，後一種叫感生電動勢。
感生電動勢的形成通常是用麥克斯韋的渦旋電磁理論解釋的。
1、概念與意義
根據麥克斯韋電磁場的理論，變化的磁場激發（渦旋）電場。渦旋電場力作用於單位電荷，使之運動一周所做的功，叫感生電動勢，即
ε感 =
*值得注意的是，這裡的渦旋電場力是一種比較特殊的力，它和庫侖電場力、洛侖茲力並稱為驅動電荷運動的三大作用力，但是，它和庫侖電場力有重大的區別，特別是：庫侖電場力可以引入電位、電場線有始有終，而渦旋電場不能引入電位、電場線是閉合的（用數學語言講，前者是有源無旋場，後者是有旋無源場）。
2、感生電動勢的求法
感生電動勢的嚴謹求法是求法拉第電磁感應定律的微分方程（*即= －）。在一般的情形下，解這個方程有一定的難度。但是，具有相對渦旋中心的軸對稱性，根據這種對稱性解體則可以是問題簡化。
【例題5】半徑為r的無限長螺線管，其電流隨時間均勻增加時，其內部的磁感應強度也隨時間均勻增加，由於「無限長」的原因，其外部的有限空間內可以認為磁感應強度恒為零。設內部= k ，試求解管內、外部空間的感生電場。
【解說】將b值變化等效為磁感線變密或變疏，並假定b線不能憑空產生和消失。在將b值增加等效為b線向「中心」會聚（運動）、b值減小等效為b線背離「中心」擴散（運動）。
（1）內部情形求解。設想乙個以「中心」為圓心且垂直b線的圓形迴路，半徑為r ，根據運動的相對性，b線的會聚運動和導體向外「切割」b線是一樣的。而且，導體的每一段切割的「速度」都相同，因此，電動勢也相等。
根據e = 知，回路上各處的電場強度應相等（只不過電場線是曲線，而且是閉合的）。
由ε總 = πr2 和 e = 得
e =顯然，撤去假想迴路，此電場依然存在。
（2）外部情形求解。思路類同（1），只是外部「假想迴路」的磁通量不隨「迴路」的半徑增大而改變，即 φ=πr2b
由ε總 = πr2 和 e′= 得
er＞r）
【答案】感生電場線是以螺線管軸心為圓心的同心圓，具體渦旋方向服從楞次定律。感生電場強度的大小規律可以用圖10-12表達。
〖說明〗本題的解答中設定的是乙個特殊的迴路，才會有「在此回路上感生電場大小恆定」的結論，如果設定其它迴路，e = 關係不可用，用我們現有的數學工具將不可解。當然，在啟用高等數學工具後，是可以的出結論的，而且得出的結論和「特殊迴路」的結論相同。
〖學員思考〗如果在螺線管內、外分別放置兩段導體cd和ef ，它們都是以螺線管軸線為圓心、且圓心角為θ的弧形，試求這兩段導體兩端的電勢差。
〖參考解答〗因為在弧線上的場強都是大小恆定的，故可用u = e·l弧長求解
顯然，ucd = θr2 ，uef = θr2 。
〖推論總結〗我們不難發現，ucd = ×（扇形ocd的面積）, uef = ×（扇形ogh的面積）。結論：感生電動勢的大小可以這樣計算，用磁感應強度的變化率乘以自磁場變化中心出發引向導體兩端的曲邊形（在磁場中）的「有效面積」。
注意，針對（圓心在磁場變化中心的）非弧形導體，用u = ed行不通（啟用ε= 數學工具又不到位），但上面的「推論」則是可以照樣使用的。
【應用】半徑為r螺線管內充滿勻強磁場，磁感應強度隨時間的變化率已知。求長為l的直導體在圖10-14中a、b、c三個位置的感應電動勢大小分別是多少？
【解】在本題中，由於沒有考查（以渦旋中心為圓心的）環形迴路或弧形迴路，所以需要用上面的「推論」解決問題。
顯然，這裡的「有效面積」分別為
sa = 0
sb = l
sc = r2·arctg
【答】εa = 0 ；εb = ；εa = arctg 。
二、電勢、電流、能量和電量
1、只要感應電路閉合，將會形成感應電流，進而導致能量的轉化。關於感應電路的電流、能量和電量的計算，可以借助《穩恆電流》一章中閉合電路歐姆定律的知識。但是，在處理什麼是「外電路」、什麼是「內電路」的問題上，常常需要不同尋常的眼光。
我們這裡分兩種情形歸納——
如果發電是「動生」的，內電路就是（切割）運動部分；
如果發電是「感生」的，內、外電路很難分清，需要具體問題具體分析，並適當運用等效思想。（內電路中的電動勢分布還可能不均勻。）
【例題6】如圖10-15所示，均勻導體做成的半徑為r的φ形環，內套半徑為r/2的無限長螺線管，其內部的均勻磁場隨時間正比例地增大，b = kt ，試求導體環直徑兩端m、n的電勢差umn 。
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