一、知識點講解：
知識點一： 二次根式的概念
形如的式子叫做二次根式。
剖析：在二次根式中，被開放數可以是數，也可以是單項式、多項式、分式等代數式，但必須注意：因為負數沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件。
知識點二：取值範圍
1. 二次根式有意義的條件：由二次根式的意義可知，當時，有意義，是二次根式，所以要使二次根式有意義，只要使被開方數大於或等於零即可。
2. 二次根式無意義的條件：因負數沒有算術平方根，所以當時，沒有意義。
知識點三：二次根式的非負性
表示a的算術平方根，也就是說，是乙個非負數，即。
剖析：因為二次根式表示a的算術平方根，而正數的算術平方根是正數，0的算術平方根是0，所以非負數（）的算術平方根是非負數，即，這個性質也就是非負數的算術平方根的性質，和絕對值、偶次方類似。這個性質在解答題目時應用較多，如若，則；若，則；若，則。
知識點四：二次根式的性質
自然語言敘述為：乙個非負數的算術平方根的平方等於它本身。
剖析：二次根式的性質公式是逆用平方根的定義得出的結論。上面的公式也可以反過來應用：若，則，如：，.
知識點五：二次根式的性質
自然語言敘述為：乙個數的平方的算術平方根等於這個數的絕對值。
剖析：1、化簡時，一定要弄明白被開方數的底數a是正數還是負數，若是正數或0，則等於a本身，即；若a是負數，則等於a的相反數-a,即；
2、中的a的取值範圍可以是任意實數，即不論a取何值，一定有意義；
3、化簡時，先將它化成，再根據絕對值的意義來進行化簡。
知識點六：與的異同點
1、不同點：與表示的意義是不同的，表示乙個正數a的算術平方根的平方，而表示乙個實數a的平方的算術平方根；在中，而中a可以是正實數，0，負實數。但與都是非負數，即，。
因而它的運算的結果是有差別的，，而
2、相同點：當被開方數都是非負數，即時，；時，無意義，而.
知識點七：最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：
⑴被開方數中不含開方開的盡的因數或因式； ⑵被開方數中不含分母； ⑶分母中不含根式。
知識點八：同類二次根式：
二次根式化成最簡二次根式後，若被開方數相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。
知識點九：二次根式的運算
（1）因式的外移和內移：如果被開方數中有的因式能夠開得盡方，那麼，就可以用它的算術根代替而移到根號外面；如果被開方數是代數和的形式，那麼先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方後移到根號裡面．
（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合併同類二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數並將運算結果化為最簡二次根式．
=·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．
（4）有理數的加法交換律、結合律，乘法交換律及結合律，乘法對加法的分配律以及多項式的乘法公式，都適用於二次根式的運算．
二、典型例題：
1、概念與性質
例1下列各式1），
其中是二次根式的是填序號）．
例2、求下列二次根式中字母的取值範圍
（12）
例3、 在根式1) ，最簡二次根式是（ ）
a．1) 2) b．3) 4) c．1) 3) d．1) 4)
例4、已知：求代數式的值。
例5、已知數a，b，若，則 ( )
a. a>b b. a2、二次根式的化簡與計算
例1. 將根號外的a移到根號內，得 ( )
a. ； b. －； c. －； d.
例2. 把（a－b）化成最簡二次根式
例3、計算：
例4、先化簡，再求值：
，其中a=，b=．
例5、如圖，實數、在數軸上的位置，化簡 ：
4、比較數值
（1）、根式變形法
當時，如果，則；如果，則。
例1、比較與的大小。
（2）、平方法
當時，如果，則；如果，則。
例2、比較與的大小。
（3）、分母有理化法
通過分母有理化，利用分子的大小來比較。
例3、比較與的大小。
（4）、分子有理化法
通過分子有理化，利用分母的大小來比較。
例4、比較與的大小。
（5）、倒數法
當時，如果，則；如果，則。
例5、比較與的大小。
（6）、媒介傳遞法
適當選擇介於兩個數之間的媒介值，利用傳遞性進行比較。
例6、比較與的大小。
（7）、作差比較法
在對兩數比較大小時，經常運用如下性質：
； 例7、比較與的大小。
（8）、求商比較法
它運用如下性質：當a>0，b>0時，則：
； 例8、比較與的大小。
第二十一章二次根式
課題 21.1二次根式 第1課時 一 教學目標 1.複習平方根的概念.2.經歷從實際問題列二次根式的過程，知道什麼是二次根式，會求二次根式有意義的條件.二 教學重點和難點 1.重點 二次根式的概念.2.難點 理解式子的意思.三 教學過程 一 複習舊知，匯入新課 師 從本節課開始，我們要學習新的一章 ...
初中數學第二十一章第1節二次根式
本講教育資訊 一 教學內容 二次根式 1.了解二次根式的意義，理解 a 0 是乙個非負數.2.理解和掌握二次根式的性質，正確區分 2 a a 0 與 a a 0 二.知識要點 1.一般地，我們把形如 a 0 的式子叫二次根式.稱為二次根號，a叫做被開方數.2.二次根式中的兩個非負性 1 二次根式成立...
第二十一章一元二次方程測題
時間 45分鐘，滿分 100分 一 選擇題 每小題6分，共36分 1.若關於x的方程 m 1 x2 mx 1 0是一元二次方程，則m的取值範圍是 2.用配方法解方程x2 8x 9 0，變形後的結果正確的是 a.x 4 2 7 b.x 4 2 9 c.x 4 2 7 d.x 4 2 25 3.下列所給...