【本講教育資訊】
一、教學內容：
二次根式
1. 了解二次根式的意義，理解（a≥0）是乙個非負數.
2. 理解和掌握二次根式的性質，正確區分（）2＝a（a≥0）與（）＝a（a≥0）.
二. 知識要點：
1. 一般地，我們把形如（a≥0）的式子叫二次根式. 「」稱為二次根號，a叫做被開方數.
2. 二次根式中的兩個非負性
（1）二次根式成立的條件：a≥0，被開方數是非負數.
（2）二次根式結果的非負性：當a＞0時，表示a的算術平方根，因此＞0；當a＝0時，表示0的算術平方根，因此＝0，即當a≥0時，≥0是乙個非負數.
3. 二次根式的性質：
（1）（）2＝a（a≥0）；（2）＝a（a≥0）.
4. 由（）2＝a（a≥0）逆用可以得到a＝（a≥0）. 利用這個式子，可以把任何乙個非負數寫成乙個數的平方的式子.
例如：3＝（）2，b＝（）2（b≥0）. 這種變形在二次根式的化簡與在實數範圍內分解因式經常用到.
三. 重點難點：
1. 二次根式的概念與對（a≥0）是乙個非負數的理解.
2. 二次根式的性質.
【典型例題】
例1. （1）若是二次根式，則a、b應滿足（ ）
a. a、b均為非負數b. a、b同號
c. a≥0，b＞0d.≥0
（2）下列各式正確的是（ ）
a. （）2＝2b.＝－4
c.＝2d.＝－x
（3）實數a、b在數軸上的位置如圖所示，那麼化簡︱a－b︱－的結果是（ ）
a. 2a－bb. bc. －bd. －2a＋b
分析：（1）由式子中a≥0得≥0. （2）由（）2＝a（a≥0），＝a（a≥0）可判定c正確. （3）借助數軸判定a、b的正負性及大小後，再對二次根式化簡.
解：（1）d（2）c（3）c
例2. 當x取什麼實數時，下列各式在實數範圍內有意義？
（1）；（2）；（3）；
（4）·；（5）.
分析：使乙個形如的式子在實數範圍內有意義，必須滿足條件a≥0. （4）中有兩個形式的式子，必須要求x－1≥0且2－x≥0；（5）出現在分母中，要滿足≠0，即2x－3≠0.
解：（1）由3－x≥0，得x≤3.
∴當x≤3時，在實數範圍內有意義.
（2）∵x取任意實數時（2x－1）2≥0都成立.
∴當x為任意實數時，在實數範圍內都有意義.
（3）由－x≥0，得x≤0.
∴當x≤0時，在實數範圍內有意義.
（4）由得1≤x≤2.
∴當1≤x≤2時，·在實數範圍內有意義.
（5）由得x＞.
∴當x＞時，在實數範圍內有意義.
評析：（1）由數的平方（x2）的非負性可以得（2x－1）2≥0恆成立；（2）－x不一定表示負數，當x≤0時，－x≥0；（3）當乙個式子中出現兩個（或兩個以上）帶二次根號的式子時，要同時考慮各個被開方數均為非負數；（4）當式子的分母中有字母時，還要注意分母不能為0.
例3. 計算下列各式.
（1）（）2；（2）；（3）（2）2；（4）.
分析：（1）應用公式（）2＝a（a≥0）；而（2）（－）2＝（）2；（3）（2）2＝22·（）2，應用了積的乘方的性質；（4）16＝42，應用公式＝a（a≥0）.
解：（1）（）2＝15；
（2）＝＝；
（3）（2）2＝22×（）2＝4·x＝4x；
（4）＝＝4.
評析：（1）在應用二次根式的性質時要注意公式暗含的條件（a≥0），（2）以前學過的運算性質（如（ab）n＝anbn等）均適用於二次根式.
例4. （1）已知a、b為實數，且a＝＋，求a＋b的值.
（2）如果＋︱y－1︱＝0，求x＋y的值.
分析：（1）由於題中出現了二次根式，所以它們的被開方數均為非負數，即b－3≥0，3－b≥0，得b＝3，a＝0. （2）由二次根式的非負性有≥0.
由絕對值意義有︱y－1︱≥0，又＋︱y－1︱＝0（表示與︱y－1︱互為相反數），因此只有＝︱y－1︱＝0.
解：（1）由二次根式的意義，得，
∴b＝3，∴a＝＋＝＋＝0，
∴a＋b＝0＋3＝3.
（2）由二次根式的非負性與絕對值的意義，得
≥0且︱y－1︱≥0.
又∵＋︱y－1︱＝0，
∴＝︱y－1︱＝0，
∴x＝0，y＝1，
x＋y＝0＋1＝1.
評析：（1）在沒有特殊說明的情況下，題中出現的二次根式都可認為是有意義的，這時由定義中被開方數是非負數可得出隱含條件b－3≥0與3－b≥0. （2）經常見到的三個有非負性的式子是a2，（a≥0），︱a︱.
在解題中要注意到利用它們的非負性，當幾個非負數之和為0時，它們分別為0.
例5. 當1＜a＜2時，化簡＋︱1－a︱.
分析：＝，在使用公式＝a（a≥0）時要注意條件，這裡a＜2，a－2＜0.
解：∵1＜a＜2，
∴1－a＜0，2－a＞0，
∴＋︱1－a︱
＝＋︱1－a︱
＝＋[－（1－a）]
＝2－a－1＋a
＝1.評析：遇到使用公式＝a（a≥0）時，要先考慮被開方數的底數a的符號.
例6. 在實數範圍內分解因式：
（1）x2－3；（2）x4－4.
分析：利用二次根式的性質（）2＝a（a≥0）的逆用，對於任何乙個非負數a可寫成平方的形式（±）2.
解：（1）x2－3＝x2－（）2＝（x＋）（x－）；
（2）x4－4＝（x2＋2）（x2－2）＝（x2＋2）（x＋）（x－）.
評析：把乙個非負數寫成平方的形式，再用平方差公式來分解因式.
【方法總結】
1. 判斷乙個式子是二次根式的條件是：（1）形如（根指數是2）；（2）a≥0，即被開方數為非負數.
2. 求二次根式中字母的取值範圍的問題，用被開方數大於或等於0，得出乙個不等式. 通過解不等式（組）求解，如果出現分母中有字母，還要考慮分母不為0.
3. 使用公式＝a（a≥0）時，要先看是否符合條件a≥0，如果a＜0，則由a2＝（－a）2轉化或＝，使之符合條件.
4. 常見的三個非負性的式子是（a≥0）、a2、︱a︱，幾個非負數之和為0，則它們分別為0. 利用非負性可以解一些最值問題.
【預習導學案】
二次根式的乘除
一. 預習前知
1. 在rt△abc中，∠c＝90°，若已知直角邊a和b，則c若已知直角邊a和斜邊c，則b
2. 把下列各數寫成乙個正數的平方的形式．
（1）42）9
（3）164）144
3. 把下列各數分解因數並寫成a2×b的形式．
（1）82）123）274）24
（5）486）987）728）54
二. 預習導學
1. 下列各式中是最簡二次根式的是（ ）
a． b． c． d．
2. 填空：
（123
（456
反思：（1）最短二次根式應該具備哪兩個條件？
（2）二次根式乘除法法則是怎樣的？如何運用二次根式乘除法則進行化簡計算？
【模擬試題】（答題時間：40分鐘）
1. 當m時，是二次根式.
2. 當x時，根式在實數範圍內有意義.
3. 當x時，有意義，當x時，＝.
4. 當x時，有意義.
*5. 當x時，有意義；有意義的條件是
*6. 使＋在實數範圍內有意義的x的值為
7. 下列各式中，二次根式有（ ）
a. 2個 b. 3個 c. 4個 d. 5個
8. 式子＋有意義的條件是（ ）
a. x≥0 b. x≤0且x≠－2 c. x≠－2 d. x≤0
**9. 若＝－成立，則x、y符合的條件是（ ）
a. x≤0，y≠0b. x≤0，y為一切實數
c. x＜0，y≠0d. 以上都不對
10. 以下各式中計算正確的是（ ）
a. －＝－6b. （－）2＝－3
c.＝±16d. －（）2＝
*11. 式子3－的值為（ ）
a. 當x＝0時最大b. 當x＝0時最小
c. 當x＝－4時最大d. 當x＝－4時最小
12. 計算：
（1）（）2；（2）（－2）2；（3）（－）2；（4）；（5）.
**13. 已知x、y為實數，且y＝＋＋，求5x＋︱2y－1︱－的值.
**14. 設a、b、c表示△abc的三邊長，化簡：
＋＋＋.
【試題答案】
1. ≤ 2. ≥0且x≠9 3. ＞0，9 4. ≥－ 5. ＞7，x≥－1且x≠8 6. 0
7. b 8. b 9. d 10. a 11. c
12. （1）0.15；（2）28；（3）；（4）；（5）π－3.
13. 由題意知x－≥0且－x≥0，所以x＝. 當x＝時，y＝. 原式＝＋0－＝＋0－＝2.
14. 因為a、b、c是△abc的三邊長，所以a＋b＋c＞0，a－b＜c，b－a＜c，c－b＜a，所以原式＝＋＋＋＝a＋b＋c＋（b＋c－a）＋（a＋c－b）＋（a＋b－c）＝2a＋2b＋2c.
第二十一章二次根式
課題 21.1二次根式 第1課時 一 教學目標 1.複習平方根的概念.2.經歷從實際問題列二次根式的過程，知道什麼是二次根式，會求二次根式有意義的條件.二 教學重點和難點 1.重點 二次根式的概念.2.難點 理解式子的意思.三 教學過程 一 複習舊知，匯入新課 師 從本節課開始，我們要學習新的一章 ...
第二十一章一元二次方程測題
時間 45分鐘，滿分 100分 一 選擇題 每小題6分，共36分 1.若關於x的方程 m 1 x2 mx 1 0是一元二次方程，則m的取值範圍是 2.用配方法解方程x2 8x 9 0，變形後的結果正確的是 a.x 4 2 7 b.x 4 2 9 c.x 4 2 7 d.x 4 2 25 3.下列所給...
第二十一章二次根式知識點及典型例題8k
一 知識點講解 知識點一 二次根式的概念 形如的式子叫做二次根式。剖析 在二次根式中，被開放數可以是數，也可以是單項式 多項式 分式等代數式，但必須注意 因為負數沒有平方根，所以是為二次根式的前提條件。知識點二 取值範圍 1.二次根式有意義的條件 由二次根式的意義可知，當時，有意義，是二次根式，所以...