三．萬有引力定律的應用
（天體質量m, 衛星質量m，天體半徑r, 軌道半徑r，天體表面重力加速度g ，衛星執行向心加速度an衛星執行週期t)
解決天體(衛星)運動問題的兩種基本思路: 一是把天體(或人造衛星)的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供;二是在地球表面或地面附近的物體所受的重力等於地球對物體的引力.
（1）．萬有引力=向心力 (乙個天體繞另乙個天體作圓周運動時，r=r+h )
g 人造地球衛星（只討論繞地球做勻速圓周運動的人造衛星r=r+h）：
，r越大，v越小；，r越大，越小；，r越大，t越大；，
r越大，越小。
（2）、用萬有引力定律求中心星球的質量和密度
求質量：天體表面任意放一物體重力近似等於萬有引力：mg = g→
當乙個星球繞另乙個星球做勻速圓周運動時，設中心星球質量為m，半徑為r，環繞星球質量為m，線速度為v，公轉週期為t，兩星球相距r，由萬有引力定律有：，可得出中心天體的質量： 求密度：
在天體表面任意放一物體重力近似等於萬有引力 （重力是萬有引力的乙個分力）
地面物體的重力加速度：mg = g g = g≈9.8m/s2
高空物體的重力加速度：mg = g g = g<9.8m/s2
（3）、萬有引力和重力的關係:
一般的星球都在不停地自轉，星球表面的物體隨星球自轉需要向心力，因此星球表面上的物體所受的萬有引力有兩個作用效果：乙個是重力，乙個是向心力。星球表面的物體所受的萬有引力的乙個分力是重力，另乙個分力是使該物體隨星球自轉所需的向心力
（4）、雙星：
宇宙中往往會有相距較近，質量可以相比的兩顆星球，它們離其它星球都較遠，因此其它星球對它們的萬有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將各自圍繞它們連線上的某一固定點做同週期的勻速圓周運動。這種結構叫做雙星。
（1）由於雙星和該固定點總保持三點共線，所以在相同時間內轉過的角度必相等，即雙星做勻速圓周運動的角速度必相等，因此週期也必然相同。
（2）由於每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由f=mrω2可得，得，即固定點離質量大的星較近。
注意：萬有引力定律表示式中的r表示雙星間的距離，按題意應該是l，而向心力表示式中的r表示它們各自做圓周運動的半徑，在本題中為r1、r2，千萬不可混淆。
當我們只研究地球和太陽系統或地球和月亮系統時（其他星體對它們的萬有引力相比而言都可以忽略不計），其實也是乙個雙星系統，只是中心星球的質量遠大於環繞星球的質量，因此固定點幾乎就在中心星球的球心。可以認為它是固定不動的。
求解雙星問題的基本技巧和方法:
抓住雙星的角速度(週期)相等，繞行的向心力大小相等，以及雙星間的距離和軌道半徑的幾何關係是解決此類問題的關鍵，概括為「四個相等」，即向心力、角速度、週期相等，軌道半徑之和等於兩星間距. 然後運用萬有引力定律和牛頓第二定律求解．
說明:1.討論重力加速度g隨離地面高度h的變化情況： 物體的重力近似為地球對物體的引力，即所以重力加速度，可見，g隨h的增大而減小。
2．算中心天體的質量的基本思路：
(1)從環繞天體出發:通過觀測環繞天體運動的週期t和軌道半徑r;就可以求出中心天體的質量m
(2)從中心天體本身出發:只要知道中心天體的表面重力加速度g和半徑r就可以求出中心天體的質量m。
3．解衛星的有關問題在高考試題中，應用萬有引力定律解題的知識常集中於兩點：
一是天體運動的向心力**於天體之間的萬有引力。即
二是地球對物體的萬有引力近似等於物體的重力，即從而得出(**代換，不考慮地球自轉)
四、三種宇宙速度
1．三種宇宙速度均指的是發射速度，不能理解為執行速度．
2．第一宇宙速度既是最小發射速度，又是衛星繞地球做勻速圓周運動的最大執行速度．
3．第二宇宙速度（脫離速度）：v2=11.2km/s，使衛星掙脫地球引力束縛的最小發射速度。
4 第三宇宙速度（逃逸速度）：v3=16.7km/s，使衛星掙脫太陽引力束縛的最小發射速度。
說明:1.第一宇宙速度是衛星在星球表面附近做勻速圓周運動時必須具有的線速度，是所有圍繞星球做圓周運動的衛星所具有的最大的線速度．理解第一宇宙速度，要抓住兩個要點：
一是「在星球表面附近」，衛星的軌道半徑r與星球的半徑r相等；二是「勻速圓周運動」，衛星所受的向心力由萬有引力提供，即g＝m，故v1＝，又由於星球表面萬有引力約等於重力，即g＝mg，故v1＝.地球的第一宇宙速度約為v1＝7.9 km/s，月球的第一宇宙速度約為1.
8 km/s.
地球的第一宇宙速度約為v1＝7.9 km/s，月球的第一宇宙速度約為1.8 km/s.
第一宇宙速度也可以通過勻速圓周運動的最小速度來快速求取，若已知某星球的重力加速度g′，則衛星在該星球表面附近做勻速圓周運動的向心加速度也為g′，由向心加速度公式g′＝，得v1＝.
2.第二宇宙速度是指在星球表面附近發射飛行器，使其克服該星球的引力永遠離開該星球所需的最小速度，也是能繞該星球做橢圓運動的衛星在近地點的最大速度．地球的第二宇宙速度v2＝11.2 km/s.
3.第三宇宙速度是指在星球表面附近發射飛行器，能夠使其掙脫太陽引力的束縛飛到太陽系外的最小速度．地球的第三宇宙速度v3＝16.7 km/s.
4.三種宇宙速度的對比
以地球為例，三種宇宙速度和相應軌道間的關係如圖所示．當衛星在地面附近做圓周運動時，其執行速度即為第一宇宙速度7.9 km/s；當衛星到達地面附近時，其速度介於7.9～11.
2 km/s之間，則衛星沿橢圓軌道繞地球運動；當衛星到達地面附近時，其速度介於11.2～16.7 km/s之間，則衛星沿橢圓軌道飛離地球，成為繞太陽運動的衛星；當衛星到達地面附近時，其速度超過16.
7 km/s，則衛星能飛出太陽系成為太陽系外的衛星．三種宇宙速度是指衛星發射的速度，而不是在軌道上的執行速度．
五、關於地球同步衛星的五個「一定」
「同步」的含義就是和地球保持相對靜止（又叫靜止軌道衛星）.
1．軌道平面一定：軌道平面與赤道平面共面．（即衛星在赤道正上方）
2．週期一定：與地球自轉週期相同，即t＝24h.
3．角速度一定：與地球自轉的角速度相同．
4高度一定：由同步衛星離地面的高度h3.6×107 m.
5．速率一定：v＝ ≈3.1×103 m/s.
經典力學的侷限性 :牛頓運動定律只適用於解決巨集觀、低速問題，不適用於高速運動問題，不適用於微觀世界。
六、人造天體的運動相關基礎知識:
一、衛星的繞行角速度、週期與高度的關係
（1）由，得，∴當h↑，v↓
（2）由g=mω2（r+h），得ω=，∴當h↑，ω↓
（3）由g，得t= ∴當h↑，t↑
二、第一宇宙速度的計算．
方法一：地球對衛星的萬有引力就是衛星做圓周運動的向心力．
g=m，v=。當h↑，v↓，所以在地球表面附近衛星的速度是它執行的最大速度。其大小為r＞＞h（地面附近）時， =7．9×103m/s
方法二：在地面附近物體的重力近似地等於地球對物體的萬有引力，重力就是衛星做圓周運動的向心力．
．當r＞＞h時．gh≈g 所以v1＝=7．9×103m/s
第一宇宙速度是在地面附近h＜＜r，衛星繞地球做勻速圓周運動的最大速度．
三、兩種最常見的衛星
⑴近地衛星。
近地衛星的軌道半徑r可以近似地認為等於地球半徑r，由式②可得其線速度大小為v1=7.9×103m/s；由式③可得其週期為t=5.06×103s=84min。
由②、③式可知，它們分別是繞地球做勻速圓周運動的人造衛星的最大線速度和最小週期。
神舟號飛船的執行軌道離地面的高度為340km，線速度約7.6km/s，週期約90min。
⑵同步衛星。
「同步」的含義就是和地球保持相對靜止，所以其週期等於地球自轉週期，即t=24h。由式g=m= m（r+h）可得，同步衛星離地面高度為 h＝－r＝3·58×107 m即其軌道半徑是唯一確定的離地面的高度h=3.6×104km，而且該軌道必須在地球赤道的正上方，運轉方向必須跟地球自轉方向一致即由西向東。
如果僅與地球自轉週期相同而不定點於赤道上空，該衛星就不能與地面保持相對靜止。因為衛星軌道所在平面必然和地球繞日公轉軌道平面重合，同步衛星的線速度 v==3.07×103m/s
通訊衛星可以實現全球的電視轉播，從圖可知，如果能發射三顆相對地面靜止的衛星（即同步衛星）並相網際網路，即可覆蓋全球的每個角落。由於通訊衛星都必須位於赤道上空3.6×107m處，各衛星之間又不能相距太近，所以，通訊衛星的總數是有限的。
設想在赤道所在平面內，以地球中心為圓心隔50放置一顆通訊衛星，全球通訊衛星的總數應為72個。
***同步衛星、近地衛星及赤道上物體的區別
<1>.同步衛星「同步」的含義是它繞地心勻速圓周運動的角速度跟地球自轉的角速度相同，且圓軌道平面跟赤道平面重合，即靜止在赤道正上方. 萬有引力為它提供向心力，其向心加速度等於軌道處的重力加速度，比地面處的重力加速度小的多，執行週期t＝24小時．
<2>．近地衛星可看做繞地球表面執行的衛星．
近地衛星由於離開了地球，它只受到乙個萬有引力的作用，萬有引力全部充當向心力，其向心加速度近似等於地面上的重力加速度，即a＝g.
近地衛星的線速度為第一宇宙速度7.9 km/s，遠大於地面赤道上物體的速度．其執行週期可由方程g＝mr求出，t＝84 min，遠小於地球同步衛星的週期．
<3>．放在赤道上的物體隨地球自轉時受到兩個力的作用，乙個是萬有引力，另乙個是地面對物體的支援力，其合力提供了物體做圓周運動的向心力，即
g－fn＝mω2r.(fn＝mg)．
由於物體的向心加速度遠小於地面的重力加速度，因此在近似計算中常忽略地球自轉影響，而認為物體的重力與物體受到的萬有引力相等(這在前面已經提到過)．但在研究它隨地球的自轉而做勻速圓周運動時，應另當別論，此時它的週期及軌道半徑分別等於地球自轉週期24小時及地球半徑．
通過以上討論可以看出，放在赤道上的物體與近地衛星有著顯著的區別. 首先兩者的受力不同，前者受到的萬有引力只有一小部分充當向心力，絕大多數作為重力使得物體緊壓地面；而後者受到的萬有引力全部充當向心力，它們的運動週期和速度也不同，並且有很大的差異．赤道上的物體相對地球保持靜止，而近地衛星相對於地球而言處於高速旋轉狀態. 而同步衛星和近地衛星都只受萬有引力，全部提供向心力，研究方法相同．
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