第三章多自由度系統
3.1試求圖3-10所示系統在平衡位置附近作微振動的振動方程。
k5k6
k1 k2 k3 k4
圖３－１０
解：（1）系統自由度、廣義座標
圖示系統自由度n=2，選x1、x2和x3為廣義座標；
（2）系統運動微分方程
根據牛頓第二定律，建立系統運動微分方程如下：
整理如下
寫成矩陣形式
（1）（3）系統特徵方程
設代入系統運動微分方程（1）得系統特徵方程
（2） （4）系統頻率方程
系統特徵方程（2）有非零解的充要條件是其係數行列式等於零，
即展開得系統頻率方程
進一步計算得
(3)其中
求解方程（3）得系統固有頻率
4）（5）系統固有振型將系統固有頻率代入系統特徵方程（2）得系統固有振型，
即各階振型之比：
（5）（6）系統振動方程
（6）在方程（6）中含有6個待定常數：、、、、和。
它們由初始條件、、、、和確定。
3.2若３.１題中m1=m3=m，m2=2m，,k1=k4=k，k2=k3=2k，k5=k6=3k，求該系統的固有頻率和固有振型。
解：若m1=m3=m，m2=2m，,k1=k4=k，k2=k3=2k，k5=k6=3k，
則系統頻率方程（3）成為
化簡3.3求圖3-11所示的三垂擺作微振動的固有頻率和固有振型。
解：（1）系統自由度、廣義座標
圖3-11所示的三垂擺系統自由度n=3，廣義座標取
、和ox
（2）系統中a、b、c三質點的座標l
a m
l（2）系統中a、b、c三質點的速度b m
lyc m
圖（3）系統中a、b、c三質點的動能
因為對於微振動有
；（4）系統中a、b、c三質點的勢能
；(5) l=t-v;
根據拉格朗日定理：
得：（1） 求固有頻率和固有振型：
；解得固有頻率：
固有振型：
；3.4兩端由彈簧支撐的剛性均質杆，質量均為沒，在b處用鉸鏈連線，如圖3-12所示，如選取b點的豎直位移y和兩桿繞b點的轉角為廣義座標，試從特徵方程出發，求系統的固有頻率和固有振型。
圖 3-12
（1）ab杆的動能：
；ab杆的勢能：
；（2）bc杆的動能：
；bc杆的勢能：
；（3）三根彈簧的勢能：；
（4）；
由拉格朗日方程可得：；令；
（5）由
令 解得
固有頻率：
；固有振型：
3.5試求圖3-13所示系統的振動方程，並求其固有頻率和固有振型。
解：（1）以為廣義座標，
建立系統的運動微分方程：
系統的動能：
系統的勢能：
；l=t-v；
由拉格朗日方程得：
（2）當時
可得固有頻率：
固有振型：
3.6圖3-14所示的兩均質杆是等長的，但具有不同的質量，試求系統作微振動的振動方程，若，試求系統的固有頻率和固有振型（設選取兩桿的轉角和為廣義座標，其中以順時針方向為正，以逆時針方向為正）。
圖 3-14
解：（1）系統的動能：
（2）系統的勢能：
(3)建立系統的運動微分方程：
由拉格朗日方程
由條件，將上述方程整理得：；
從系統的特徵方程解得
固有頻率
；固有振型
3.7試從矩陣方程
出發，左乘，利用正交關係證明
i=1，2，……，n
其中n為系統自由度數。
解：由式可得：
；由正交關係可知：
結論得證.
3.8圖3-15中簡支梁有三個置於它的四分之一點處的質量。試以微小的平動作為位移座標，梁的自重忽略不計，其彎曲剛度為ei。
假設，求系統的固有頻率和固有振型，對振型規範化並畫出各階振型。
解：（1）表示在點作用單位力而在點產生的撓度。
利用圖乘法可得：
同理：； ；
（2）以各小豎向位移為廣義座標，建立系統的運動微分方程：
整理成矩陣形式：
；固有頻率：
固有振型：
正規化：
各階振型圖：
振型 1
振型 2
振型 3
3.9一輕型飛行器的水平穩定器被簡化為3個集中質量系統的模型，見圖3-16，其剛度、質量矩陣和固有頻率及模態形狀已經求出。若飛行器遇到一突然的陣風，其產生的階躍力為
其中是單位階躍力，如圖3-16。
（1） 確定模態響應表示式，假設；
（2） 確定響應的表示式，並指出個模態的貢獻。
其中圖3-16
解：（1）進行座標變換：
（2）3.10一棟三層樓房，如圖3-17，其剛度、質量矩陣和固有頻率及振型如下：
圖3-17
（1）確定模態質量、模態剛度矩陣m，k；
（2）若確定模態力；
（3）確定穩定響應的表示式；
（4）用模態位移法確定的響應，並指出各階模態對響應的貢獻，並列出當激振頻率分別為時，的振幅隨擷取模態數變化的**。
解：（1
（2（3
（4）3.11 當3.10 題中的柔度矩陣為
（1）用模態加速度法，確定響應的表示式；
（2）像3-10題一樣，列出當激勵頻率分別為時的的振幅隨擷取模態數變化的**，並對結果加以分析。
解（1）
（2）的振幅隨擷取模態數變化的**
和上一題所得結果比較可以看出：
（1）兩種方法所得的結果基本相同，且隨項數增加，兩者差別變小。
（2）用模態加速度法的收斂速度比位移法要快。
例如當時，用位移法各階模態相加才收斂到0.3749，而用加速度法第一項就收斂到0.3750。
第四章連續彈性體的振動
4.1一端固定，一端自由的均勻杆，在自由端有一彈簧常數為k的軸向彈簧支承（圖4-23），試推導縱向振動的頻率方程，並對兩種極端情形：（1）,（2）,進行討論。
解：其邊界條件為：
處，；處，。
將代入得：
；得到縱向振動頻率方程為
當時，=0
（）當時， （）
4.2 一均質杆，兩端都是自由端，開始時在端部用相等的力壓縮，若將力突然移去，求其縱向振動。
解： 無外力作用時，邊界條件為：
時，有；
時，有將它們代入振型函式得 ；
得各階固有頻率為
；各階主振動的表示式為
在一般情況下，振動可以表示為各階主振動的疊加，即
當時，有
；將初始條件代入
有由於上式要得到滿足，必須有，這樣導致，或（），代入得
為了求出，上式兩邊均乘以，（）
得到，4.3圖4-24為一端固定，一端自由的圓等直杆。在自由端作用有扭矩，在t=0時突然釋放，求杆自由端的振幅。
解： a=
無外力作用時，圖標桿的邊界條件為：
將其分被代入振型函式得：
b=0=0;
得各階固有頻率為:
n=1,3,5,…..
各階主振動的表示式為:
在一般情況下，振動可以表示為各階主振動的疊加，即
當時，有
1)2)
由（2）式可得 =0
3）將（3）式代入（1）得：
為了求出，上式兩邊均乘以,(m為正整數)，
得 n=1,3,5,…..
自由端的振幅是
4.4一均質梁，一端固定，一端簡支，試匯出梁彎曲振動的頻率方程，並寫出固有振型的表示式。
解：圖示梁的邊界條件為：
而：代入邊界條件得：
1)2)
3)4）
由（1），（2）式得b=d=0；
由（3），（4）式得
頻率方程：
4.5一均勻懸臂梁，在自由端附有一質量為m的重物（圖4-25），設重物的尺寸遠小於梁長l,試推導該系統彎曲振動的頻率方程並討論時的基本頻率。
解：對於圖示懸臂梁的邊界條件為
由邊界條件得：
整理得頻率方程：
頻率方程為
查書表4-1得其前五階固有頻率：
4.6一均勻簡支梁，**作用一橫向力p（如圖）產生撓曲，試確定荷載突然卸除後樑得自由振動。
解：對於簡支梁，其自由振動的解為：
對於圖示結構，其零初始條件是
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