第一章單自由度系統
1.1 總結求單自由度系統固有頻率的方法和步驟。
單自由度系統固有頻率求法有：牛頓第二定律法、動量距定理法、拉格朗日方程法和能量守恆定理法。
1、 牛頓第二定律法
適用範圍：所有的單自由度系統的振動。
解題步驟：（1） 對系統進行受力分析,得到系統所受的合力；
2） 利用牛頓第二定律,得到系統的運動微分方程；
3） 求解該方程所對應的特徵方程的特徵根，得到該系統的固有頻率。
2、 動量距定理法
適用範圍：繞定軸轉動的單自由度系統的振動。
解題步驟：（1） 對系統進行受力分析和動量距分析；
（2） 利用動量距定理j,得到系統的運動微分方程；
（3） 求解該方程所對應的特徵方程的特徵根，得到該系統的固有頻率。
3、 拉格朗日方程法：
適用範圍：所有的單自由度系統的振動。
解題步驟：（1）設系統的廣義座標為，寫出系統對於座標的動能t和勢能u的表示式；進一步寫求出拉格朗日函式的表示式：l=t-u ；
（2）由格朗日方程=0，得到系統的運動微分方程；
（3） 求解該方程所對應的特徵方程的特徵根，得到該系統的固有頻率。
4、 能量守恆定理法
適用範圍：所有無阻尼的單自由度保守系統的振動。
解題步驟：（1）對系統進行運動分析、選廣義座標、寫出在該座標下系統的動能t和勢能u的表示式；進一步寫出機械能守恆定理的表示式 t+u=const
（2）將能量守恆定理t+u=const對時間求導得零,即，進一步得到系統的運動微分方程；
（3） 求解該方程所對應的特徵方程的特徵根，得到該系統的固有頻率。
1.2 敘述用衰減法求單自由度系統阻尼比的方法和步驟。
用衰減法求單自由度系統阻尼比的方法有兩個：衰減曲線法和共振法。
方法一：衰減曲線法。
求解步驟：（1）利用試驗測得單自由度系統的衰減振動曲線，並測得週期和相鄰波峰和波谷的幅值、。
（2）由對數衰減率定義， 進一步推導有
， 因為較小， 所以有
。方法二：共振法求單自由度系統的阻尼比。
（1）通過實驗，繪出系統的幅頻曲線， 如下圖：
單自由度系統的幅頻曲線
（2）分析以上幅頻曲線圖，得到：
；於是；進一步 ；最後
；1.3 敘述用正選弦激勵求單自由度系統阻尼比的方法和步驟。
用正選弦激勵求單自由度系統阻尼比的方法有兩個：幅頻（相頻）曲線法和功率法。
方法一：幅頻（相頻）曲線法
當單自由度系統在正弦激勵作用下其穩態響應為：
,其中1)
2)從實驗所得的幅頻曲線和相頻曲線圖上查的相關差數，由上述（1），（2）式求得阻尼比。
方法二：功率法：
（1） 單自由度系統在作用下的振動過程中，在乙個週期內，
彈性力作功為
阻尼力做功為
激振力做作功為
（2） 由機械能守恆定理得，彈性力、阻尼力和激振力在乙個週期內所作功為零，即於是
進一步得
（3） 當時，，則得
1.4 求圖1-35中標出引數的系統的固有頻率
（a）此系統相當於兩個彈簧串聯，彈簧剛度為k1、
簡支梁剛度為 ； 等效剛度為k;
則有 ；
則固有頻率為
（b）此系統相當於兩個彈簧併聯, 等效剛度為:
則固有頻率為:
(c)系統的等效剛度
則系統的固有頻率為
（d）由動量距定理得
得： ，
則 。
1.5 求下圖所示系統的固有頻率。圖中勻質輪a半徑r,重物b的重量為p/2,彈簧剛度為k.
解：以為廣義座標，則
系統的動能為
系統的勢能為：
；拉格朗日函式為
l=t-u ;
由拉格朗日方程得
則，=所以：系統的固有頻率為
1.6求圖1-35所示系統的固有頻率。圖中磙子半徑為r，質量為m，作純滾動。彈簧剛度為k 。
解：磙子作平面運動
其動能t=t平動 +t轉動 ；
而勢能；
系統機械能
;由得系統運動微分方程
；得系統的固有頻率
； 1.7求圖1-36所示齒輪系統的固有頻率。已知齒輪a的質量為ma，半徑為ra，齒輪b的質量為mb，半徑為rb,杆ac的扭轉剛度為ka, ,杆bd的扭轉剛度為kb,
解：由齒輪轉速之間的關係得
角速度轉角
系統的動能為：
系統的勢能為：
; 系統的機械能為
；由得系統運動微分方程
；因此系統的固有頻率為：
； 1.8已知圖１－３７所示振動系統中，勻質桿長為， 質量為m，兩彈簧剛度皆為k，阻尼係數為c，求當初始條件時
（１）的穩態解
（２）的解
解：利用動量矩定理建立系統運動微分方程而得
；化簡得
1)(1)求的穩態解；
將代入方程（1）得
2）令得
3）設方程（3）的穩態解為
4）將（4）式代入方程（3）可以求得：；；
(2)求的解；
將代入方程（1）得
5）令得
6）方程（6）成為求有阻尼的單自由度系統對於脈衝激勵的響應。由方程（6）可以得到初始加速度
；然後積分求初始速度
；再積分求初位移
；這樣方程（6）的解就是系統對於初始條件、和的瞬態響應
；將其代入方程（6）可以求得：
最後得1.9圖１－３８所示盒內有一彈簧振子，其質量為m，阻尼為c，剛度為k，處於靜止狀態，方盒距地面高度為h，求方盒自由落下與地面粘住後彈簧振子的振動歷程及振動頻率。
解：因為在自由落體過程中彈簧無變形，所以振子與盒子之間無相對位移。在粘地瞬間，
由機械能守恆定理的振子的初速度；
底版與地面粘住後，彈簧振子的振動是對於初速度
的主動隔振
系統的運動微分方程為：
或 或
系統的運動方程是對於初始條件的響應；；
；1.10汽車以速度v在水平路面行使。其單自由度模型如圖。
設m、k、c已知。路面波動情況可以用正弦函式y=hsin(at)表示。求：
（1）建立汽車上下振動的數學模型；（2）汽車振動的穩態解。
解：（1）建立汽車上下振動的數學模型；由題意可以列出其運動方程：
其中：表示路面波動情況； 1表示汽車上下波動位移
將其整理為：
1將代入得
(2)汽車振動的穩態解:
設穩態響應為
代入系統運動微分方程（1）可解得：；；
1.11.若電磁激振力可寫為，求將其作用在引數為m、 k、 c的彈簧振子上的穩態響應。
結構動力學習題解答
第一章單自由度系統 1.1 總結求單自由度系統固有頻率的方法和步驟。單自由度系統固有頻率求法有 牛頓第二定律法 動量距定理法 拉格朗日方程法和能量守恆定理法。1 牛頓第二定律法 適用範圍 所有的單自由度系統的振動。解題步驟 1 對系統進行受力分析,得到系統所受的合力 2 利用牛頓第二定律,得到系統的...
結構動力學習題解答 三四章
第三章多自由度系統 3.1試求圖3 10所示系統在平衡位置附近作微振動的振動方程。k5k6 k1 k2 k3 k4 圖 解 1 系統自由度 廣義座標 圖示系統自由度n 2，選x1 x2和x3為廣義座標 2 系統運動微分方程 根據牛頓第二定律，建立系統運動微分方程如下 整理如下 寫成矩陣形式 1 3 ...
結構動力學習題
第九章結構動力計算 一 是非題 1 結構計算中，大小 方向隨時間變化的荷載必須按動荷載考慮。2 忽略直杆的軸向變形，圖示結構的動力自由度為4個。3 僅在恢復力作用下的振動稱為自由振動。4 單自由度體系其它引數不變，只有剛度ei增大到原來的2倍，則週期比原來的週期減小1 2。5 圖 a 體系的自振頻率...