暨南大學考試試卷答案及評分標準
1.是五階行列式的一項(除去符號),則有:( b )
(a) j=3,k=5,此項為正b) j=3,k=5,此項為負
(c) j=5,k=3,此項為正d) 以上全不對
2.已知n階矩陣a為可逆陣,b為陣,則有:( b )
(ab)
(cd)
3. 下列行列式（ a ）的值必為零．
(a) 階行列式中，零元素個數多於個；
(b) 階行列式中，零元素個數小於個；
(c) 階行列式中，零元素個數多於個；
(d) 階行列式中，零元素的個數小於個．
4.以下向量組是線性無關的為（ c ）
(a) 含零向量的向量組
(b) 向量組中有兩個成比例的向量.
(c) 向量組的秩等於向量組中向量的個數.
(d) 向量組的維數小於向量組的向量個數.
5.如果n階方陣與n階方陣相似，則下列結論不正確的是（ a ）
(a) a與b有相同的特徵矩陣b) a與b有相同的特徵方程
(c) a與b有相同的行列式d)與有相同的特徵值
6.設齊次線性方程組ax=0,其中a是m×n矩陣,且r(a)=n-3.是方程組的三個線性無關的解向量,則( c )是ax=0的基礎解系.
(a)(b)(c)(d)7.不可對角化的矩陣為（ d ）
(a)實對稱矩陣
(b) 有n個不同特徵值的n階方陣
(c) 有n個線性無關的特徵向量的n階方陣
(d) 不足n個線性無關的特徵向量的n階方陣.
8.下列矩陣中不可逆矩陣為（ a ）
(a) 奇異矩陣.
(b) 滿秩方陣
(c) 行列式值不為零的方陣
(d) 可以表成初等矩陣之積的方陣.
9.下列( d )為正定二次型.
(a)(b)(c)的三階矩陣a的特徵值為2,3,-1
(d)1正)2. 若a與b是同階方陣,則錯)
3.對於,ax=0僅有零解的充要條件是行向量組線性無關錯)
4.二次型經非退化線性替換後變為,則 (錯)
5. 乙個特徵向量不能屬於不同的特徵值正)
1.若q是正交陣,則q的行列式值為____1,或者 -1
2.已知a是四階方陣, ,則
3.若與五元齊次線性方程組ax=0的同解方程組是，則矩陣a的秩為__2_____；ax=0的乙個基礎解系有___3___個解向量.
4.若三階方陣a的特徵值分別為4，5，-1，則方陣a的行列式的值為 -20 .
5.二次型的規範形是________.
計算行列式
解: =
(1) 判斷向量組是線性相關還是線性無關. (6分)
解1:對矩陣
進行初等(行)變換,
,向量組線性相關.
解2: ,所以向量組線性相關.
(2) 將二次型化為標準型，並給出所用的非退化線性替換矩陣. (7分)
解: 令: 即作非退化線性替換:
此二次型的標準型為:
所用的線性替換矩陣為:
a,b為何值時,線性方程組有無窮多解? (不需求解)
解:對增廣矩陣進行初等行變換.
=故有:
(1),=
,方程組有無窮多解.
(2),=
,方程組有無窮多解.
用齊次線性方程組的基礎解系表示如下線性方程組的全部解：
解：對方程組的增廣矩陣進行初等行變換
同解方程組為:
，得一特解
同解方程組為:
分別原方程組對應的齊次方程組的乙個基礎解系為:
故原方程組的全部解為：
其中，為任意常數。
已知方陣，（1）求的特徵值及特徵向量；
（2）問能否與對角矩陣相似，為什麼？
（3）若能與對角矩陣相似，求滿足=的對角矩陣及變換矩陣p 。
解:1)求a的特徵值
2)求a的特徵向量
對應的同解方程組為:
解之得到此齊次方程組的基礎解系
對應的同解線性方程組為:
解之得到此齊次方程組的基礎解系
由於a有三個線性無關的特徵向量, a可對角化.
則有:,即
設a為m n矩陣，b為n s矩陣，證明：如果ab = o, 那麼秩(a) + 秩(b) n .
證明：記為的列向量組，
即。由於可知，也就是都是齊次方程組的解。
若，則的基礎解系應有個解向量，不妨令為，因為可由線性表出，
而與的極大無關組可以相互線性表示,
故有的極大無關組可由線性表出.
由定理3.9知,即。
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一 單項選擇題 本大題共10小題，每小題2分，共20分 在每小題列出的四個備選項中只有乙個是符合題目要求的，請將其 填寫在題後的括號內。錯選 多選或未選均無分。1.設3階方陣a 其中 i 1,2,3 為a的列向量，且 a 2，則 b c a.2 b.0 c.2 d.6 2.若方程組有非零解，則k a...