按乘數為正、負兩種情況討論:
1.被乘數[x]補符號任意,乘數[y] 補為正
設[x]補=
[y]補=
根據補碼定義可推得: [x]補=2+x=2n+1+x (mod2)
y]補=y=
其中x,y為真值.故: [x]補[y]補=(2n+1+x)*y=2n+1+xy
21*2n(
2(y1y2...yn)+xy
注意被2n乘已成為正整數.
根據模的運算性質有:
2(y1y2...yn)=2 (mod 2)
所以 [x]p*[y]p=2+x*y=[x*y]補mod 2)
即x*y]p=[x]p*[y]p=[x]p*y
(因為ys=0為正) =[x]p* (
當乘數y>0,不管x的符號如何,將[x]p*y=[x*y]p
2.被乘數[x]p符號任意,乘數y為負
[x]補=
[y]補= =2+y (mod 2)
該項得: y=[y]補-2= -2=1+
所以 x*y=x*(
將上式兩邊取補所以有: [x*y]p=[x(
x(x( [-x]p
因為 (>0 正數的補碼 = 本身
所以 [x( [x]p*(
所以 [x*y]p= [x]p*( -[x]p (2)
將(1)和(2)綜合起來:得統一的算式
[x*y]p= [x]p*( -[x]p*y0 (3)
x]p*(-y0+
分析:右邊第二項[x]p*y0
當y為正 y0=0 該項不存在1)
y為負 y0=1 該項為[x]p2)
將(3)式展開,推出邏輯實現分步演算法:
獲得各項部分積的累加形式.
[x*y]p= [x]p*( -[x]p*y0
x]p*(2-1y1+2-2y2+…+2-nyn) -[x]p*y0
x]p*[-y0+ (y1-2-1y1)+( y22-1-2-2y2)+…+(2-(n-1)yn-2-nyn)
x]p*[(y1-y0)+(y2-y1)2-1+…+(yn-yn-1)2-(n-1)+(yn+1-yn) 2-n]
說明:(1) 可寫成2-1y1+2-2y2+…+2-nyn
(2)提公因式[x]p將 -y0 提前
(3)去括號重新組合
(4) y1-2-1y1=(20-2-1)y1=(1-1/2) y1=0.5y
y22-1-y22-2=(2-1-2-2)*y2=2-2y2
[x*y]補= [x]補*( -[x]補*y0
= [x]補*(2-1y1+2-2y2+…+2-nyn) -[x]補*y0
=[x]補*[-y0+ (y1-2-1y1)+( y22-1-2-2y2)+…+(2-(n-1)yn-2-nyn)
=[x]補*[(y1-y0)+(y2-y1)2-1+…+(yn-yn-1)2-(n-1)+(yn+1-yn) 2-n]
將[x]p乘進去,然後從第2項開始,每次提2-1
=(y1-y0)[x]p+(y2-y1)2-1[x]p+…+(yn+1-yn)2-n[x]p
=(y1-y0)[x]p+2-1[(y2-y1)[x]p+(y3-y2)2-1[x]p+(y4-y3) 2-2[x]p…+(yn+1-yn) 2-(n-1) [x]p]1
=(y1-y0)[x]p+2-11
=(y1-y0)[x]p+2-12}1
…………………
=(y1-y0)[x]p+2-1n-1…}3}2}1
說明: 式中yn+1是增設的附加位,初始值位0.
ai取決於相鄰兩位乘數的比較結果
顯然(4)式就是部分積累加的形式
若定義[p0]補位初始部分積=0. [p1]補……[pn]補依次位各步求得的累加並右移後的部分積.
將(4)改寫:更接近於分步運算邏輯實現
[x*y]p=[x]p*[(y1-y0)+(y2-y1)2-1+…+(yn-yn-1)2-(n-1)+(yn+1-yn) 2-n]
將[x]p乘進去,然後再次提2-1
=(y1-y0)[x]p+(y2-y1)2-1[x]p+…+(yn+1-yn)2-n[x]p
=(y1-y0)[x]p+2-1[(y2-y1)[x]p+(y3-y2)2-1[x]p+(y4-y3) 2-2[x]p…+(yn+1-yn) 2-(n-1) [x]p]1
=(y1-y0)[x]p+2-11
=(y1-y0)[x]p+2-12}1
…………………
=(y1-y0)[x]p+2-1n-1…}3}2}1
y>0x*y]p= [x]p*(
y<0x*y]p= [x]p*( -[x]p (2)
統一算式: [x*y]p= [x]p*( -[x]p*y03)
x]p*(-y0+
化簡: =[x]p*[(y1-y0)+(y2-y1)2-1+…+(yn-yn-1)2-(n-1)+(yn+1-yn) 2-n] (4)
將[x]p乘進去從第二項開始,每次提2-1
==(y1-y0)[x]p+2-1[(y2-y1)[x]p+(y3-y2)2-1[x]p+(y4-y3) 2-2[x]p…+(yn+1-yn) 2-(n-1) [x]p]1
……………………
=(y1-y0)[x]p+2-1n-1…}3}2}1
=(y1-y0)[x]p+2-1n-1…}3}2}1
[p1]補
寫成遞推公式:
[p0]補=0
[p1]補=2-1 令yn+1=0
[p2]補=2-1
………………
[pi]補=2-1
………………
[pn]補=2-1
所以: [ x*y]補=[[pn+1]補]= (y1-y0)[x]p +[pn]補<4>
注意:(1)y0 是乘數y的符號位.
yn+1是人為附加位 =0.使式子規範整齊.
(2)開始運算時p0=0 , yn+1=0
部分積※ 新部分積獲得的方法:1、乘數相鄰的兩位求差。2、結果乘以[x]補。3、並與上次部分積相加。4、相加結果右移1位。
根據相鄰兩位比較結果決定運算操作的方法，稱為「比較法」，也稱booth演算法。
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